2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение31.10.2020, 22:59 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Найдите 1-параметрическое решение в рациональных числах $x,y,z$
уравнения $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=K\cdot(z+\frac{1}{z})$, где $K$ - заданное рациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение01.11.2020, 09:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Если $K$ --- абсцисса или ордината рациональной точки на единичной окружности (например, $K=4/5$), то можно и 2-параметрическое решение $(x,y,z)$ предложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение01.11.2020, 12:48 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1490202 писал(а):
Если $K$ --- абсцисса или ордината рациональной точки на единичной окружности (например, $K=4/5$), то можно и 2-параметрическое решение $(x,y,z)$ предложить.


Так второй параметр возникает за счет параметризации $K$ или что-то другое?
Мной имелось в виду, что решение выглядит так $x=x(t,K), y=y(t,K), z=z(t,K)$
с рациональными функциями в правых частях, и единственный параметр это $t$.
Поясните, что Вы имели в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение01.11.2020, 12:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1490246 писал(а):
Поясните, что Вы имели в виду.
Да, пардон, с 2-параметрическим решением я погорячился, $K$ ведь должно быть фиксировано. (Просто вспомнилось, что кривая $x+1/x+y+1/y=4$ рациональна.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение04.11.2020, 20:53 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
При $K\neq0,\pm1$ есть вот такое (видимо, тривиальное) решение: $y=\dfrac1{K^2-1}\left(x+\dfrac1x\right),z=Ky$. В целом я пытался рассматривать дискриминант квадратного уравнения, корнями которого являются $x,y$, введя параметр $a\equiv x+y-Kz$ и $p\equiv x+y,q\equiv xy$, затем выражая $q$ из исходного уравнения. Т.о. можно придти к равенству в рациональных числах $s(p-s)(K^2+a^2-ap)=p(p-a)$; тривиальное семейство получается при произвольном принятии $s=-1/a$ (в этом случае ликвидируется член с $p^2$ и получаются гарантированно рациональные $p=p(a),q=q(a)$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение04.11.2020, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
waxtep в сообщении #1490698 писал(а):
... есть вот такое (видимо, тривиальное) решение:

Почему тривиальное? Все частные решения в некотором смысле тривиальные, поскольку опираются на произвольное допущение, но не более того. Ветвистость выражений тут вряд ли надежный показатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение04.11.2020, 23:14 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Приведенное waxtep решение верное и компактное.
Вот то, что имелось в виду (оно годится и для $K=\pm{1}$)
$x = \dfrac{(1+t^2+K^2+2t)^2}{K(t^2-1)(tK^2+1+2t+t^2)}$

$y = \dfrac{(1+t^2+K^2+2t)^2}{K(2+K^2+2t)(tK^2+1+2t+t^2)}$

$z=\dfrac{(t^2-1)(2+K^2+2t)K^2}{(tK^2+1+2t+t^2)(1+t^2+K^2+2t)}$
Получается это решение из некоторой рациональной точки бесконечного порядка
на эллиптической кривой $(U,W)$ с уравнением
$W^2 = U^3-(N+2N^2+N^3-2K^2{N^2})U^2-(-K^4{N^4}+{K^2}N^3+{K^2}N^5+2N^4{K^2})U$
к которому можно свести исходное уравнение (здесь $N=\frac{y}{x}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение07.11.2020, 01:45 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Andrey A в сообщении #1490714 писал(а):
Почему тривиальное?
Меня удивил простой вид решения по сравнению с очень окольным путём, которым я к нему пришел, т.е. видимо есть менее трудозатратный путь к нему же...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x+1/x+y+1/y=K(z+1/z)
Сообщение07.11.2020, 03:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург

(waxtep)

waxtep в сообщении #1491009 писал(а):
Меня удивил простой вид решения по сравнению с очень окольным путём, которым я к нему пришел,

Е равно эм цэ квадрат.
Что-то физик мой не рад,
Ну хотя бы пару строк...
Мечет кости древний Бог:

А вот на тебе ОТО!
Получи и распишись,
Слишком простенько а то.
Будет типа зашибись :)

Рождено в творческих муках :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group