Дифференциальные операторы и носитель функции

[Gickle]

Наткнулся на такую проблему. Пусть $F_1: M \to \mathbb{R}$ и $F_2: M \to \mathbb{R}$ есть некоторые действительные функции, причём $\operatorname{supp}(F_1) \bigcap \operatorname{supp}(F_2) = \emptyset$. Пусть теперь имеются некоторые дифференциальные операторы $\mathcal{D}_1$ и $\mathcal{D}_2$, действующие в пространстве функций, к которым принадлежат $F_1$ и $F_2$. Можно ли утверждать, что

$$\mathcal{D}_1 F_1(x) \mathcal{D}_2 F_2(x) = 0 \quad \forall x \in M?$$

На ncatlab написано, что

Цитата:

Every ordinary differential operator $\mathcal{D}$, regarded as a pseudo-differential operator, is properly supported (def. 1.1), since differential operators do not increase the support of the functions they act on:

$$\operatorname{supp}(\mathcal{D}f) \subset \operatorname{supp}(f).$$

Вроде как из этого следует, что $\operatorname{supp}(\mathcal{D}_i F_i) \subset \operatorname{supp}(F_i)$, так что $\operatorname{supp}(\mathcal{D}_1 F_1) \bigcap \operatorname{supp}(\mathcal{D}_2 F_2) = \emptyset,$ но вполне может статься, что там под дифференциальным оператором понимается чёрт знает что (если перейти по ссылке на статью про differential operator, то обнаружится, что я там дай бог каждое пятое слово понимаю). На практике, если слега упростить ситуацию, имеется примерно следующее:

$$F_1(x,y) = f(x,y) \theta(x),\quad F_2(x,y) = f(x,y) \theta(-x), \quad f(x,x) = 0,$$

а $\mathcal{D}_i = \partial_x^{n_i} \partial_y^{m_i}.$ Вот если "в лоб" подставлять и вспомнить, что производная от функции Хевисайда есть дираковская дельта, то в правой части получится, помимо прочего, произведение дираковских дельт (и/или производных от оных), что даже по меркам физиков совсем уж неприемлемо плохо определено.

Если описанное выше предположение является неверным, хотелось бы увидеть какой-то контрпример, чтобы немного интуицию хоть выработать. Если же предположение верно, то где можно найти доказательство? Или оно тривиально, а я просто совсем дурак? Заранее спасибо.

[g______d]

Gickle в сообщении #1489547 писал(а):

Или оно тривиально

Более-менее: достаточно доказать его для гладких функций с компактным носителем, а потом на обобщённые функции перенести по двойственности.

Gickle в сообщении #1489547 писал(а):

а я просто совсем дурак

Нет, тут просто есть следующая тонкость: носитель -- это всегда замкнутое множество. Более точно, $\mathrm{supp}\,f$ -- это наименьшее замкнутое множество, вне которого $f=0$. Здесь $f=0$ понимается в смысле обобщённых функций. В "хорошем" случае $\mathrm{supp}\, f$ --это замыкание множества, на котором $f\neq 0$.

В Вашем примере, таким образом, носители пересекаются.

Рекомендую на эту тему Шубин, "Лекции по уравнениям математической физики", если нет желания смотреть в более толстые учебники.

[Gickle]

g______d в сообщении #1489548 писал(а):

Нет, тут просто есть следующая тонкость: носитель -- это всегда замкнутое множество. Более точно, $\mathrm{supp}\,f$ -- это наименьшее замкнутое множество, вне которого $f=0$. Здесь $f=0$ понимается в смысле обобщённых функций. В "хорошем" случае $\mathrm{supp}\, f$ --это замыкание множества, на котором $f\neq 0$.

Понял. То есть в данном случае, если считать, например, что $\mathrm{supp}(f) = \mathbb{R}^2$, мы имеем $\mathrm{supp}(F_1) = (-\infty,0] \times \mathbb{R}$ и $\mathrm{supp}(F_2) = [0,+\infty) \times \mathbb{R}$, так что $\mathrm{supp}(F_1) \bigcap \mathrm{supp}(F_2) = \lbrace 0\rbrace \times \mathbb{R}$? А потому мы не можем утверждать, что $\mathcal{D}_1 F_1 \, \mathcal{D}_2 F_2 = 0$. Отстой, конечно... Но мы можем как минимум утверждать, что $\mathrm{supp}\left(\mathcal{D}_1 F_1 \, \mathcal{D}_2 F_2\right) \subset \lbrace 0\rbrace \times \mathbb{R}.$ Ну, то есть лично я бы ожидал, что результат должен быть либо $0$, либо что-то, что пропорционально $\delta^{(n)}(x)$. Но если вот в лоб взять производные в каком-нибудь простом примере,

$$ \begin{align*} \partial_x^2\partial_y \left[f(x,y) \theta(x)\right] \partial_x \partial_y\left[f(x,y)\theta(-x)\right] &= \left[\partial_x^2 \partial_y f(x,y) \theta(x) + 2 \partial_x\partial_y f(x,y)\delta(x) + f(x,y) \delta'(x)\right] \\ &\times \left[\partial_x\partial_y f(x,y) \theta(x) + \partial_y f(x,y) \delta(x)\right], \end{align*} $$

то в правой части будут выражения вида $\partial_x\partial_y f(x,y)\delta(x)\partial_y f(x,y) \delta(x)$ или $f(x,y) \delta'(x) \partial_y f(x,y) \delta(x),$ что, вообще говоря, не определно математически, как понимаю. Можно ли как-то правую чатсь при этом всё равно нормально записать в терминах обощённых функций?

Цитата:

Рекомендую на эту тему Шубин, "Лекции по уравнениям математической физики", если нет желания смотреть в более толстые учебники.

Спасибо, хорошие лекции. Написано вполне доступным языком (напоминает учебник Владимирова, который нам на урматах рекомендовали в своё время). И там действительно в 4.5 приводится утверждение, с которого начиналась тема.

[Red_Herring]

Gickle в сообщении #1489658 писал(а):

Но мы можем как минимум утверждать, что

При условии, что это произведение имеет смысл. И скорее всего это при указанных вводных либо невозможно, либо дает функцию $0$ т.е. пустой носитель

[Slav-27]

Gickle в сообщении #1489658 писал(а):

выражения вида $\partial_x\partial_y f(x,y)\delta(x)\partial_y f(x,y) \delta(x)$ или $f(x,y) \delta'(x) \partial_y f(x,y) \delta(x),$ что, вообще говоря, не определно математически, как понимаю. Можно ли как-то правую чатсь при этом всё равно нормально записать в терминах обощённых функций?

Я подозреваю, что там всё хорошо определено, но вами написанного недостаточно, чтобы сказать, как именно. Вы же потом всё это сворачиваете с какими-то хорошими функциями и можете получать хорошую (т. е. не обобщённую) функцию в итоге? Вам надо это проделать и сообразить, какой функционал в конце концов хочется получить.

Обобщённые функции -- это, по определению, какие-то линейные функционалы на пространстве гладких функций. Можно определить их произведение $u\cdot v(\varphi):=u(\varphi)\cdot v(\varphi)$, это тоже какой-то функционал на гладких функциях, только, как правило, нелинейный, т. е. не обобщённая функция. Не это ли там надо? Или можно определить произведение $u\otimes v$ как функционал на пространстве гладких функций ДВУХ переменных вида $h(x,y)=f(x)g(y)$ как $(u\otimes v)h=u(f)v(g)$, а потом продолжить его (если продолжится) на ВСЕ функции двух переменных по линейности и непрерывности, используя тот факт, что любую гладкую функцию $h(x,y)$ можно представить как предел последовательности $h_n(x,y)=\sum\limits_{i=1}^{k_n} f_{n,i}(x)g_{n,i}(y)$ (где $k_n$ конечны, $f_{n,i}, g_{n,i}$ -- гладкие функции).

Любую обобщённую функцию $F$ можно представить как предел последовательности функционалов $\varphi\mapsto\int dx \varphi(x)F_n(x)$, где $F_n$ -- последовательность гладких функций. (В качестве $F_n$ можно взять $F*\mu_{\frac1n}$, где $\mu_{\varepsilon}$ -- семейство сглаживающих функций, по-английски mollifier.) По этой причине обобщённые функции очень похожи на функционалы указанного вида. Для нелинейных функционалов такого представления не бывает, и поэтому они не похожи на функционалы указанного вида. Поэтому думать про них как про функционалы такого вида и вводить соответствующие обозначения (вы пытались этим заниматься в прошлой теме), по-моему, неудобно и неестественно. Никто вам, конечно, не может запретить писать $f(0)^2=\int dx \delta^2(x) f(x)$, или $f(0)g(0)=\int dx \delta^2(x) f(x)g(x)$, но такие обозначения, в отличие от обозначения $f(0)=\int dx \delta(x) f(x)$, не мотивированы никакими соображениями про предельные переходы от интегралов с гладкими функциями и поэтому плохие. А вот $f(0)g(0)=\int dxdy\; f(x)g(y)\delta(x)\delta(y)$ -- так нормально, и соответственно $h(0,0)=\int dxdy\; h(x,y)\delta(x)\delta(y)$ тоже нормально. То есть можно считать, что многомерная $\delta$-функция $\delta(x_1,...,x_n)=\delta(x_1)...\delta(x_n)$, иными словами, $\delta_{(0,...,0)}=\delta_0\otimes...\otimes\delta_0$.

Трудности с определением произведения обобщёных функций, которые вы упоминали, относятся к произведению, которое продолжает произведение гладких функций, то есть чтобы произведение функционалов $\int dx (\cdot) f(x)$ и $\int dx (\cdot) g(x)$ было функционалом $\int dx(\cdot) f(x)g(x)$. Это произведение нельзя разумным образом продолжить на любые пары обобщёных функций (но можно продолжить на такие пары, у которых сумма волновых фронтов не содержит нулевых ковекторов -- теорема Хёрмандера; в частности, на такие пары, в которых одна из обобщённых функций на самом деле гладкая). Но я сильно сомневаюсь, что вам требуется такое произведение, мне кажется, у вас всё проще и требуется либо $u\cdot v$, либо $u\otimes v$, описанные выше.