Индуктивность толстого провода

[DimaM]

Есть известная задача: коаксиал с внутренним толстым проводом радиуса $a$, внешним радиусом $b$, ток течет по всем сечению провода и возвращается по внешнему экрану. Найти индуктивность на единицу длины.
Есть известный способ решения: запускаем ток $I$ и находим индукцию в промежутке между проводами $B_1=\dfrac{2I}{cr}$ и внутри толстого провода $B_2=\dfrac{2Ir}{R^2}$.
Дальше вычисляем энергию магнитного поля на единицу длины

$$W=\int\limits_0^b \frac{B^2}{8\pi}2\pi rdr=\frac{I^2}{c^2}\ln\left(\frac{b}{a}\right)+\frac{I^2}{4c^2}.$$

Первое слагаемое - в промежутке между проводами, второе - внутри толстого провода.
Затем по формуле $W=\dfrac{LI^2}{2c^2}$ находим индуктивность

$$L=\frac{1}{2}+2\ln\left(\frac{b}{a}\right).$$

А теперь посчитаем поток через прямоугольник со сторонами на оси и на краю

$$\Phi=\int\limits_0^b Bdr=\frac{2I}{c}\ln\left(\frac{b}{a}\right)+\frac{I}{c}.$$

Снова первое слагаемое - в промежутке между проводами, второе - внутри толстого провода.
Опять же по формуле $\Phi=LI/c$ находим индуктивность

$$L=1+2\ln\left(\frac{b}{a}\right).$$

Получается интересный такой дискрепанс. Причем в разных источниках приводятся разные ответы.
Есть чувство, что правильным должно быть решение через энергию, но как это правильно показать, мне в голову не приходит.

[EUgeneUS]

ИМХО, во втором случае подвох с выбором контура.
Линий тока много - так как ток течет по всему сечению провода, но мы выбираем только одну из них.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1485456 писал(а):

ИМХО, во втором случае подвох с выбором контура.
Линий тока много - так как ток течет по всему сечению провода, но мы выбираем только одну из них.

В этом нет подвоха: выбираем плоский контур, который пересекают все линии магнитного поля в одну сторону. Половину продольного сечения кабеля, от середины до края.
Ну и недоучет не подходит: во второй формуле как раз получается больше, чем в первой.

Есть предположение, что при вычислении через поток нужно рассматривать изменение тока $\cal{E}=L\dot{I}$, но проблема опять строго довести это до логического конца.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1485457 писал(а):

выбираем плоский контур, который пересекают все линии магнитного поля в одну сторону.

В формуле

DimaM в сообщении #1485454 писал(а):

$\Phi=LI/c$

Мы выбираем не контур, "который пересекают все линии магнитного поля в одну сторону", а контур по которому течёт ток $I$.

DimaM в сообщении #1485457 писал(а):

Ну и недоучет не подходит: во второй формуле как раз получается больше, чем в первой.

Как раз-то во второй формуле происходит переучет (значение завышается).

-- 02.10.2020, 10:01 --

Представим вместо толстого провода две тонкостенные коаксиальные трубки (первая внутри, вторая снаружи).
Ток по ним как-то распределяется $I = I_1 + I_2$, $I_1 = k I$, $0<k<1$ - константа.

Подсчет вторым способом даст ошибку, так как поле между трубками создается только током $I_1$, а по формуле
$L = \Phi c /I$ суммарный поток разделится на суммарный ток.

[AnatolyBa]

Правильное решение - через энергию.
И тут вопрос - как определять индуктивность для нетонких проводов.
Классики (Калантаров, Цейтлин) определяют через потокосцепление. Разбивают толстый контур на тонкие трубки, берут потоки через контуры образованные трубками, умножают на долю тока приходящуюся на трубку, интегрируют.
Получается в конце концов интеграл $\int\limits_{}^{} \vec{A}\vec{j} dV$. Тот же интеграл, что и в формуле для энергии.
Вообще, индуктивность достаточно тонкое понятие. В обычной электотехнике тонкостями пренебрегают и живут счастливо.
Например, говорят об индуктивности незамкнутого участка цепи, не учитывают зависимость от частоты (а для толстого провода это может быть важным)

[Prisma]

DimaM в сообщении #1485457 писал(а):

В этом нет подвоха: выбираем плоский контур, который пересекают все линии магнитного поля в одну сторону. Половину продольного сечения кабеля, от середины до края.
Ну и недоучет не подходит: во второй формуле как раз получается больше, чем в первой.

Думаю подвох именно здесь. Как уже обращено внимание выше, линий тока много. Ситуация ровно та же, что и много запараллеленых индуктивностей с вполне определённым коэффициентом взаимо(связи, индукции) (потокосцеплением) между ними. Каждая из индуктивностей как раз по линии тока.

EUgeneUS в сообщении #1485459 писал(а):

Цитата:

DimaM в сообщении #1485454

писал(а):
$\Phi=LI/c$

Мы выбираем не контур, "который пересекают все линии магнитного поля в одну сторону", а контур по которому течёт ток $I$.

Совершенно верно. Формула применена была некорректно

[Prisma]

DimaM в сообщении #1485457 писал(а):

Есть предположение, что при вычислении через поток нужно рассматривать изменение тока $\cal{E}=L\dot{I}$, но проблема опять строго довести это до логического конца.

Я рассмотрел бы, как последовательное соединение индуктивностей. Первая, охватываемая контуром, очерчивающим промежуток между внутренним и внешним радиусом, это логарифмический член. Остальные представляют узкие прямоугольники внутри центрального проводника. Взаимоиндукции между ними нет, из-за отсутствия потокосцепления по причине аксиальной симметрии магнитного поля. Значит все индуктивности соединены последовательно. Тогда сразу получается, что при подсчёте индуктивности за счёт тока внутри центрального провода, следовало взять среднее значение магнитного поля, что составит половину от значения на поверхности. Тогда формулы сойдутся.

[Theoristos]

DimaM в сообщении #1485454 писал(а):

Затем по формуле $W=\dfrac{LI^2}{2c^2}$ находим индуктивность

$$L=\frac{1}{2}+2\ln\left(\frac{b}{a}\right).$$

...
Опять же по формуле $\Phi=LI/c$ находим индуктивность

$$L=1+2\ln\left(\frac{b}{a}\right).$$

В какой-то из электротехнических книг встречал и добавку в виде $\frac{3}{4}$.

Гм, а почему мы не пренебрегаем толщиной внутреннего провода (но при том пренебрегаем скин-эффектом), и пренебрегаем толщиной внешнего?

[chislo_avogadro]

Если смотреть формально, дело сводится к возможности (или невозможности) нахождения множителя $L$, не зависимого от параметра $B$ в очевидном требуемом равенстве -

$L\left(\sum\limits_i S_i B_i\right)^2 = \sum\limits_i h_i S_i B_i^2$

Для физики, думаю, полезно было бы найти условия, когда это выполняется.
В этих суммах могут быть, конечно, и интегралы.

[realeugene]

DimaM

эта прибавка к логарифму на постоянном токе равна нулю, потому что внутренний проводник сверхпроводящий, и ток течёт только по его внешней поверхности.

Я к тому, что такие блохи, которые вы пытаетесь посчитать, в модели с сосредоточенными параметрами бессмысленны. Вы каким местом внутренний проводник будете включать во внешнюю схему, его центром, или краем? А на тех частотах, на которых интересно волновое сопротивление коаксиалов, токи внутри внутренней жилы не текут из-за скин-эффекта.

[Prisma]

realeugene в сообщении #1485698 писал(а):

Вы каким местом внутренний проводник будете включать во внешнюю схему, его центром, или краем?

Это имеет значение только для коротких отрезков, для длинных плотность тока выровняется по длине

[realeugene]

Prisma в сообщении #1485729 писал(а):

Это имеет значение только для коротких отрезков, для длинных плотность тока выровняется по длине

Выравняется, если сопротивление проводника ненулевое. А если оно ненулевое, то будут неизбежными и омические потери, рассеивающие существенную часть энергии магнитного поля внутри проводника при исчезновении магнитного поля. Т. е. модель идеальной индуктивности без потерь неприменима на желаемом уровне точности.

[EUgeneUS]

На практике
А) теоретические формулы для индуктивностей имеют два варианты - "для высокой частоты" ток идет по поверхности, и "для низкой частоты" ток равномерно распределен по толще проводника.
Б) для борьбы со скин-эффектом применяют литцендрат.

realeugene в сообщении #1485737 писал(а):

Т. е. модель идеальной индуктивности без потерь неприменима на желаемом уровне точности.

В задаче речь о нахождении индуктивности, а не о нахождении импеданса.

[realeugene]

Prisma в сообщении #1485729 писал(а):

Это имеет значение только для коротких отрезков, для длинных плотность тока выровняется по длине

Добавлю, что при ненулевом удельном сопротивлении материала проводника плотность постоянного тока выравняется, но вот ЭДС самоиндукции окажется разной при изменении этого тока и замыкании внешнего контура по центру центрального проводника или по его внешнему краю. Так что, невозможно не просто корректно точно посчитать индуктивность такого контура, а, даже, её формально определить.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1485459 писал(а):

Представим вместо толстого провода две тонкостенные коаксиальные трубки (первая внутри, вторая снаружи).
Ток по ним как-то распределяется $I = I_1 + I_2$, $I_1 = k I$, $0<k<1$ - константа.

Подсчет вторым способом даст ошибку, так как поле между трубками создается только током $I_1$, а по формуле
$L = \Phi c /I$ суммарный поток разделится на суммарный ток.

Это уже экзотика какая-то.
Если взять ток, текущий по одной трубке и возвращающийся по другой, решение через поток дает тот же результат, что и через энергию.

Prisma в сообщении #1485545 писал(а):

Я рассмотрел бы, как последовательное соединение индуктивностей. Первая, охватываемая контуром, очерчивающим промежуток между внутренним и внешним радиусом, это логарифмический член. Остальные представляют узкие прямоугольники внутри центрального проводника. Взаимоиндукции между ними нет, из-за отсутствия потокосцепления по причине аксиальной симметрии магнитного поля. Значит все индуктивности соединены последовательно. Тогда сразу получается, что при подсчёте индуктивности за счёт тока внутри центрального провода, следовало взять среднее значение магнитного поля, что составит половину от значения на поверхности. Тогда формулы сойдутся.

Так в интеграле, что я написал, именно так и складываются потоки. Так что не должны сойтись формулы.
Ну или я вас неправильно понимаю, тогда давайте на вашу формулу посмотрим.

realeugene в сообщении #1485698 писал(а):

Я к тому, что такие блохи, которые вы пытаетесь посчитать, в модели с сосредоточенными параметрами бессмысленны. Вы каким местом внутренний проводник будете включать во внешнюю схему, его центром, или краем? А на тех частотах, на которых интересно волновое сопротивление коаксиалов, токи внутри внутренней жилы не текут из-за скин-эффекта.

Моя задача была понять теоретически, почему разные способы дают разный результат для одинаково распределенного тока. Вы формулируете задачу, которая может быть интересна, но другая.