2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на ЗСИ
Сообщение09.08.2020, 21:10 


09/08/20
4
Здравствуйте, помогите, пожалуйста разобраться с задачей:
На столе покоятся два одинаковых шарика массой $m$ каждый, скрепленные невесомой пружиной длина которой $l$, а жесткость $k$. Одному из шариков сообщили ударом скорость $v$ в направлении, перпендикулярном прямой, соединяющей их центры. Определите эту скорость, если известно, что при движении шариков пружина растягивалась до максимальной длины, равной $L$. Трением пренебречь.

Насколько я понимаю, надо перейти в систему центра масс и написать законы сохранения энергии и импульса:
$\frac{mv^2}{2} = \frac{k(L-l)^2}{2}+mv'^2$ - ЗСЭ
и $m\vec{v} = 2m\vec{v'}$ - ЗСИ
при этом очевидно, что $v'$ не может быть направлена куда-либо, кроме как туда же куда и $v$, вниз, например. Однако в ответ должен быть $v = L(L-l)\sqrt{\frac{2k}{m(L^2-l^2)}}$, где я ошибаюсь в своем рассуждении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение09.08.2020, 22:24 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Во-первых, у вас какие-то странные отношения с двойками. Во-вторых, в системе центра масс ценность закона сохранения импульса невелика - по его итогам при аккуратных выкладках вы получите что-нибудь вроде $0=0$. Ну и наконец, подумайте, как будет выглядеть движение шариков? Ни на какие мысли по поводу законов сохранения это не наводит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение09.08.2020, 22:30 


09/08/20
4
Pphantom в сообщении #1478171 писал(а):
Во-первых, у вас какие-то странные отношения с двойками. Во-вторых, в системе центра масс ценность закона сохранения импульса невелика - по его итогам при аккуратных выкладках вы получите что-нибудь вроде $0=0$. Ну и наконец, подумайте, как будет выглядеть движение шариков? Ни на какие мысли по поводу законов сохранения это не наводит?


Вроде, не очень странные, я просто учла, что шариков два и масса у них общая $2m$.
Про характер движения, мне кажется, что шарик, который получил удар, должен сместиться вниз до тех пор, пока пружина не растянется до $L$, затем центр масс системы будет двигаться прямолинейно вниз, а сами шарики, возможно начнут вращаться, тогда, наверно, будет сохраняться момент импульса. Моя проблема как раз в том, что я не до конца понимаю характер движения всей системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение09.08.2020, 22:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):
шариков два и масса у них общая $2m$.
Импульс — векторная величина.
Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):
сами шарики, возможно начнут вращаться, тогда, наверно, будет сохраняться момент импульса
Именно.

Надо начать с правильной записи всех трёх законов сохранения в системе ЦМ (закон сохранения импульса — только для контроля, что Вы всё правильно понимаете, на этом его роль и закончится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение09.08.2020, 23:08 


09/08/20
4
svv в сообщении #1478174 писал(а):
Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):
шариков два и масса у них общая $2m$.
Импульс — векторная величина.
Arshtm в сообщении #1478172 писал(а):
сами шарики, возможно начнут вращаться, тогда, наверно, будет сохраняться момент импульса
Именно.

Надо начать с правильной записи всех трёх законов сохранения в системе ЦМ (закон сохранения импульса — только для контроля, что Вы всё правильно понимаете, на этом его роль и закончится).

да, тут вы правы, туплю дико, сто лет такого не решала)
в таком случае, ЗСИ:
$m\vec{v}= m\vec{v}_1+m\vec{v}_2$, где $\vec{v}_1$ скорость шара, которому придали скорость, $\vec{v}_2$ - скорость изначально покоящегося, горизонтальные составляющие будут равны по модулю, но противоположны по направлению и в сумме дадут ноль, а вертикальные в сумме дают начальную $\vec{v}$, проекции будут меняться, т.к. система вращается, но общий импульс и момент импульса сохранятся.
Закон сохранения момента импульса:
$mlv = \frac{mL^2}{4}\omega+\frac{mL^2}{4}\omega = \frac{mL^2}{2}\omega = \frac{mLv'}{2}$
т.е. $v' = \frac{l}{2L}v$
вот тут я путаюсь относительно какой оси его надо считать, хочется постоянно относительно середины пружины, но как-то странно это для начального момента, потому что пружина сама начинает двигаться относительно еще покоящегося шарика
в закон сохранения энергии тогда надо еще добавить энергию вращательного движения и получится:
$\frac{mv^2}{2} = \frac{k(L-l)^2}{2}+ \frac{2mv'^2}{2}+2\frac{I\omega^2}{2}$
где $\frac{I\omega^2}{2} = \frac{mv'^2}{4}$ т.к. $I=\frac{mL^2}{4}$
в ответе тогда $v=L(L-l)\sqrt{\frac{k}{L^2-3l^2}}$ что похоже, но где-то я вру опять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение10.08.2020, 09:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
Arshtm, по-видимому, предполагается, что следует рассматривать шарик как материальную точку. То есть, пренебречь тем, что в процессе движения он поворачивается. Тогда из закона сохранения энергии и закона сохранения момента импульса получается указанный Вами ответ.
Достаточно рассмотреть движение лишь одного шарика в СО, связанной с центром масс системы. (Движение второго - центрально симметрично движению первого). Да, ещё нужно сообразить, что в момент максимальной деформации пружины радиальная скорость шарика обращается в ноль, а значит у скорости остаётся лишь тангенциальная составляющая (поперёк радиус-вектора, проведённого из центра масс системы). Попробуйте так. Получаются несложные уравнения, из которых следует нужный Вам ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение10.08.2020, 09:49 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Найти максимальную по модулю скорость при заданной начальной было бы чуть веселее

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение10.08.2020, 13:33 


09/08/20
4
Тааак... в итоге все получается, если перейти в систему связанную с центром масс, относительно нее в момент максимального растяжения скорость будут направлены в противоположные стороны перпендикулярно пружине и тогда закон сохранения момента импульса можно записать как
$2\frac{mv}{2}\frac{l}{2} = 2mu\frac{L}{2}$
$u = \frac{vl}{2L}$
тогда если подставить в закон сохранения энергии:
$\frac{2m(v/2)^2}{2} = \frac{2mu^2}{2}+\frac{k(L-l)^2}{2}$
то получается нужный ответ $v = L(L-l)\sqrt{\frac{2k}{m(L^2-l^2)}$
но выглядит это все как-то неоч, имхо

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на ЗСИ
Сообщение10.08.2020, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265

(Оффтоп)

Arshtm в сообщении #1478209 писал(а):
но выглядит это все как-то неоч

Тогда извините. Помочь Вам решить задачу здесь смогут. А вот переделать мир так, чтобы Вам понравилось... С этим, по-видимому, будут некоторые проблемы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group