Вопрос по выводу уравнения кривой Безье

[artful7]

В известной книге Шикина и Плиса "Кривые и поверхности на экране компьютера" есть раздел про кривые Безье, в котором приводится параметрическое уравнение кривой Безье и уравнение, эквивалентное ему, но в матричной форме. Пробую решить, но результат преобразования матриц не соответствует уравнению.
Итак, в матричной форме выражение для радиус-вектора выглядит следующим образом:

$\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = {\mathbf{PMT}}\]$,

где $\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x\left( t \right)} \\ {y\left( t \right)} \\ {z\left( t \right)} \\ \end{array} } \right)\]$, $\[{\mathbf{M}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 3} & 3 & 1 \\ 0 & 3 & { - 6} & 3 \\ 0 & 0 & 3 & { - 3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\]$, $\[{\mathbf{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {t^0 } \\ {t^1 } \\ {t^2 } \\ {t^3 } \\ \end{array} } \right)\]$,
$\[{\mathbf{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{P}}_0 } & {{\mathbf{P}}_1 } & {{\mathbf{P}}_2 } & {{\mathbf{P}}_3 } \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } & {x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\ {y_0 } & {y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\ {z_0 } & {z_1 } & {z_2 } & {z_3 } \\ \end{array} } \right)\]$.

После подстановки $\[{\mathbf{P}}\]$, $\[{\mathbf{M}}\]$ и $\[{\mathbf{T}}\]$ в выражение для $\[{\mathbf{R}}\left( t \right)\]$ должно получиться следующее параметрическое уравнение:
$\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\left( {\left( {1 - t} \right){\mathbf{P}}_0 + 3t{\mathbf{P}}_1 } \right)\left( {1 - t} \right) + 3t^2 {\mathbf{P}}_2 } \right)\left( {1 - t} \right) + t^3 {\mathbf{P}}_3 \]$.

Меня интересует двумерный случай, поэтому при подстановке вектора $\[{\mathbf{P}}\]$ в выражение для $\[{\mathbf{R}}\left( t \right)\]$, компоненты его третьей ($\[z\]$) координаты -- $\[z_0 \]$, $\[z_1 \]$, $\[z_2 \]$ и $\[z_3 \]$ -- опускаю, т.е. решаю без них (т.к. третья координата не нужна). Но результат НЕ сходится с параметрическим уравнением.
Выкладки очень уж объемные, поэтому здесь их не привожу, но перепроверил дважды - результат один и тот же - не сходится с параметрическим уравнением $\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\left( {\left( {1 - t} \right){\mathbf{P}}_0 + 3t{\mathbf{P}}_1 } \right)\left( {1 - t} \right) + 3t^2 {\mathbf{P}}_2 } \right)\left( {1 - t} \right) + t^3 {\mathbf{P}}_3 \]$.

Возможно, я что упустил из вида, помогите разобраться.

Заранее благодарю за помощь.

[vvvv]

Перемножать можно матрицы размером m x n и n x k, где m,n.k -натуральные числа, причем в той последовательности, как они здесь записаны.Где первая буква- это число строк, вторая - число столбцов.
Ваши записи этому условию не удовлетворяют.

[artful7]

Это Вы насчет матрицы M? Запись этой матрицы содержала опечатку. Сейчас я ее исправил.

[Алексей К.]

artful7 писал(а):

После подстановки $\[{\mathbf{P}}\]$, $\[{\mathbf{M}}\]$ и $\[{\mathbf{T}}\]$ в выражение для $\[{\mathbf{R}}\left( t \right)\]$ должно получиться следующее параметрическое уравнение:
$\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\left( {\left( {1 - t} \right){\mathbf{P}}_0 + 3t{\mathbf{P}}_1 } \right)\left( {1 - t} \right) + 3t^2 {\mathbf{P}}_2 } \right)\left( {1 - t} \right) + t^3 {\mathbf{P}}_3 \]$.

(0) Конечно, сначала надо разобраться размерами матриц.

(1) Вы слишком исказили простую, симметричную, традиционную, красивую формулу

$$R( t ) = P_0(1 - t)^3 + 3P_1(1 - t)^2t+3P_2(1 - t)t^2+P_3t^3,$$

зачем-то наплодив в ней скобок, множителей, етц. Я, признаться, не дал себе труда проверить, совпадает ли она с приведённой мною.

(2) Вы не умеете делать эти громоздкие выкладки каким-нибудь пакетиком, Maple, например?

(3) Вы слишком сложно кодируете свой ТЕХ, типа $\verb вместо $\verb. Хотя, возможно, за Вас это делает какой-то автомат (Maple, например?). Но если Вы всё это творите ручками...

[vvvv]

Предствьте конкретные матрицы, которые вы перемножаете (как Вы говорите двумерные), тогда посмотрим, проверим.

[artful7]

vvvv писал(а):

Перемножать можно матрицы размером m x n и n x k, где m,n.k -натуральные числа, причем в той последовательности, как они здесь записаны.Где первая буква- это число строк, вторая - число столбцов.
Ваши записи этому условию не удовлетворяют.

Как я понимаю, m - это количество строк первой матрицы, n - количество столбцов первой матрицы. Вторая матрица должна содержать столько же строк, сколько первая матрица содержит столбцов. Разве это не соблюдается в первом перемножении ${\mathbf{PM}}$?

Добавлено спустя 7 минут 31 секунду:

Алексей К. писал(а):

(1) Вы слишком исказили простую, симметричную, традиционную, красивую формулу

$$R( t ) = P_0(1 - t)^3 + 3P_1(1 - t)^2t+3P_2(1 - t)t^2+P_3t^3,$$

зачем-то наплодив в ней скобок, множителей, етц. Я, признаться, не дал себе труда проверить, совпадает ли она с приведённой мною.

Нет нет! Я ничего не исказил. Читайте мой первый пост: именно такой вид параметрического уравнения приведен в книге Шикина и Плиса. Хотя они обе эквивалентны.

[vvvv]

И еще, в перемножаемых матрицах отсутствует переменная (t) ?!

[artful7]

vvvv писал(а):

И еще, в перемножаемых матрицах отсутствует переменная (t) ?!

А матрица T?

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

Честно говоря, я так и не понял, зачем мне в первых постах указывали на несоответствие матриц при перемножении?

Добавлено спустя 6 минут 48 секунд:

vvvv писал(а):

Предствьте конкретные матрицы, которые вы перемножаете (как Вы говорите двумерные), тогда посмотрим, проверим.

Перемножаемые матрицы следующие.
$\[{\mathbf{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } & {x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\ {y_0 } & {y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\ \end{array} } \right)\]$

$\[{\mathbf{M}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 3} & 3 & 1 \\ 0 & 3 & { - 6} & 3 \\ 0 & 0 & 3 & { - 3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\]$

$\[{\mathbf{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {t^0 } \\ {t^1 } \\ {t^2 } \\ {t^3 } \\ \end{array} } \right)\]$

[Александр Т.]

artful7 писал(а):

...
Итак, в матричной форме выражение для радиус-вектора выглядит следующим образом:

$\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = {\mathbf{PMT}}\]$,

где $\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x\left( t \right)} \\ {y\left( t \right)} \\ {z\left( t \right)} \\ \end{array} } \right)\]$, $\[{\mathbf{M}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 3} & 3 & 1 \\ 0 & 3 & { - 6} & 3 \\ 0 & 0 & 3 & { - 3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\]$, $\[{\mathbf{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {t^0 } \\ {t^1 } \\ {t^2 } \\ {t^3 } \\ \end{array} } \right)\]$,
$\[{\mathbf{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{P}}_0 } & {{\mathbf{P}}_1 } & {{\mathbf{P}}_2 } & {{\mathbf{P}}_3 } \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } & {x_1 } & {x_2 } & {x_3 } \\ {y_0 } & {y_1 } & {y_2 } & {y_3 } \\ {z_0 } & {z_1 } & {z_2 } & {z_3 } \\ \end{array} } \right)\]$.

В матрице $\[{\mathbf{M}}$ неправильный знак при единице. Должно быть

$$\[{\mathbf{M}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 3} & 3 & -1 \\ 0 & 3 & { - 6} & 3 \\ 0 & 0 & 3 & { - 3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)\]$$

.

artful7 писал(а):

После подстановки $\[{\mathbf{P}}\]$, $\[{\mathbf{M}}\]$ и $\[{\mathbf{T}}\]$ в выражение для $\[{\mathbf{R}}\left( t \right)\]$ должно получиться следующее параметрическое уравнение:
$\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\left( {\left( {1 - t} \right){\mathbf{P}}_0 + 3t{\mathbf{P}}_1 } \right)\left( {1 - t} \right) + 3t^2 {\mathbf{P}}_2 } \right)\left( {1 - t} \right) + t^3 {\mathbf{P}}_3 \]$.

Оно и получается, поскольку

$${\mathbf{MT}} = \left( \begin{array}{r} 1 - 3t + 3t^2 - t^3 \\ 3t - 6t^2 + 3t^3 \\ 3t^2 - 3t^3 \\ t^3 \end{array} } \right) = \left( \begin{array}{r} (1 - t)^3\\ 3t(1 - t)^2 \\ 3t^2(1 - t)\\ t^3 \end{array} } \right) $$

.

[artful7]

ДА!

Вчера вечером, когда я решил еще раз выполнить подстановку и проверить матричную запись, я тоже начал смутно догадываться, что дело не в ошибке моих подстановок, а в последней нижней единице из матрицы $\[{\mathbf{M}}\]$ Шикина и Плиса. Даже в справочник полез, чтобы проверить, как раскладывается $\[\left( {1 - t} \right)^3 \]$. Там прямо напрашивалось выражение $\[1 - 3t + 3t^2 - t^3 \]$ вместо получаемого $\[1 - 3t + 3t^2 + t^3 \]$ из-за ошибки в матрице $\[{\mathbf{M}}\]$. На опечатку это не похоже, т.к. такие же матрицы (с ошибкой) встречаются в книге и дальше.

Спасибо, что подтвердили мои сомнения насчет матрицы.

Добавлено спустя 1 час 7 минут 21 секунду:

Вот еще вопрос: почему базисная матрица в кубической кривой Безье заполнена именно так, а не иначе?

[Алексей К.]

Потому что, по определению, кривая Безье есть

$$R_n( t ) = \sum\limits_{i=0}^n C_{n}^{i} P_i t^i (1 - t)^{(n-i)}$$

в частности,

$$R_3( t ) = P_0(1 - t)^3 + 3P_1(1 - t)^2t+3P_2(1 - t)t^2+P_3t^3,$$

Из этого и получается такое заполнение матрицы.

[artful7]

А разве уравнение получается не в результате подстановки в $\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = {\mathbf{PMT}}\]$ векторов $\[{\mathbf{P}}\]$, $\[{\mathbf{M}}\]$ и $\[{\mathbf{T}}\]$?

Добавлено спустя 5 минут 50 секунд:

Матрица определяет вид уравнения или наоборот, из уравнения определяются элементы строк и столбцов матрицы?

[Алексей К.]

Уравнение здесь изначально, в форме полиномов Бернштейна.
Посмотрите, как естественно это для "кривых" первого порядка.
Ежелеи кому-то хочется иметь это в матричном виде --- флаг в руки, пусть выводит...
Вот статья в Wikipedii (в русской тоже есть)

[artful7]

Понятно, значит базисная матрица получается из уравнения.

А зачем переводить все в матричный вид, если для алгоритмизации удобнее параметрическое уравнение $\[{\mathbf{R}}\left( t \right) = \left( {\left( {\left( {1 - t} \right){\mathbf{P}}_0 + 3t{\mathbf{P}}_1 } \right)\left( {1 - t} \right) + 3t^2 {\mathbf{P}}_2 } \right)\left( {1 - t} \right) + t^3 {\mathbf{P}}_3 \]$?

[Алексей К.]

artful7 в сообщении #147602 писал(а):

А зачем переводить все в матричный вид...?

Не знаю. Может, по Маяковскому ---

\noindent Виды всякие нужны,\\ Виды всякие важны!