Геодезические

[pogulyat_vyshel]

Наверняка боян и есть в каком-нибудь учебнике. Пусть $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция на римановом многообразии такая, что $|\nabla f|=1$. Доказать, что поток векторного поля $\nabla f$ состоит из геодезических

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1473538 писал(а):

Пусть $f:M\to\mathbb{R}$ -- функция на римановом многообразии такая, что $|\nabla f|=1$. Доказать, что поток векторного поля $\nabla f$ состоит из геодезических

Примем $f$ за одну из координат, а дальше как во втором томе Ландау и Лифшица (§97 Синхронная система отсчёта).

[svv]

Пусть $\mathbf u=\nabla f$. Тогда
$u_{i:k}=f_{:ik}=u_{k:i}$
$(\nabla_{\mathbf u} \mathbf u)_i=u_{i:k}u^k=u_{k:i}u^k=\frac 1 2 (u_k u^k)_{:i}=0$

[pogulyat_vyshel]

Ну я тоже уравнение геодезических писал, но в координатах, в которых поле $\nabla f$ выпрямлено, а это как-то совсем просто

[pogulyat_vyshel]

Задачка, как я понимаю, из оптики

[Lia]

Флуд отделен.
Sicker, если у Вас есть осмысленный вопрос, еще раз его осмыслите и обратитесь в ПРР.