2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадратный корень в круговых полях
Сообщение14.07.2020, 23:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Пусть у нас есть $a\in\mathbb Q(\zeta_n)$, тогда как бы определить какие-нибудь $m$ и $b\in\mathbb Q(\zeta_m)$ такие, что $b^2 = a$? (Уже не очень уверен, что они всегда существуют, но вроде должны, и как понимаю тогда можно принять $m = nk$.) Может быть это уже где-нибудь было описано.

Я даже тест наличия квадратного корня в том же поле не смог состряпать; если бы мы могли работать с многочленами, коэффициенты которых циклически повторяются (притворившись, что $\zeta_n$ — это просто неизвестная), тут красиво спасло бы фурьение, но так как представление $a$ многочленом не единственно, этот подход не несёт плодов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень в круговых полях
Сообщение15.07.2020, 02:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
arseniiv в сообщении #1473808 писал(а):
Пусть у нас есть $a\in\mathbb Q(\zeta_n)$, тогда как бы определить какие-нибудь $m$ и $b\in\mathbb Q(\zeta_m)$ такие, что $b^2 = a$? (Уже не очень уверен, что они всегда существуют, но вроде должны, и как понимаю тогда можно принять $m = nk$.)
Здесь, как я понимаю, $\zeta_n$ --- это первообразный корень из единицы степени $n$. Возьмем $n=4$, тогда $\zeta_4=i$. Пусть $a=1+i \in \mathbb{Q}(i)$. Попробуйте решить Вашу задачу для такого $a$.
arseniiv в сообщении #1473808 писал(а):
Я даже тест наличия квадратного корня в том же поле не смог состряпать;
Есть общий алгоритм факторизации многочлена над полем алгебраических чисел. В частности, можно факторизовать многочлен $x^2-a$ над $\mathbb{Q}(\zeta_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень в круговых полях
Сообщение15.07.2020, 04:49 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
arseniiv в сообщении #1473808 писал(а):
Уже не очень уверен, что они всегда существуют, но вроде должны,

Нет сомнения в том. Любое абелево поле (т.е расширение Галуа ${\mathbb Q}$, у которого группа Галуа абелева) вкладывается в круговое (теорема Кронекера). А хотя ... надо подумать, однако !

-- 15.07.2020, 04:10 --

А не, фигня конечно... Берем поле $F$ с группой $G\cong D_8$. В группе есть центральная инволюция $t$. Её неподвижное подполе $E=F^{\{1, t\}}$ --- это поле с группой $G/\{ 1,t\}\cong Z_2\times Z_2$, и потому подполе в круговом $L$. Само $F$ неабелево (его группа неабелева), и посему не может быть подполем в круговом. Но в то же время $F$ --- квадратичное расширение для $E$. А посему композит $LF$ --- квадратичное расширение для $L$. И т.д.

(Дисклеймер: давненько не брал я в руки шашек, может где и промахнулся).

-- 15.07.2020, 04:13 --

Кажется, коллега nnosipov примерно на то и намекает, только в явном виде...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень в круговых полях
Сообщение15.07.2020, 07:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vpb в сообщении #1473824 писал(а):
давненько не брал я в руки шашек, может где и промахнулся
Да нет, мастерство так просто не пропьешь :D В моем примере как раз $D_8$ (она же $D_4$, в другой традиции). Засыпая, пытался сообразить, как доказать элементарно (без теории Галуа), но не сообразил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратный корень в круговых полях
Сообщение15.07.2020, 19:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
М-да.

nnosipov в сообщении #1473822 писал(а):
Есть общий алгоритм факторизации многочлена над полем алгебраических чисел. В частности, можно факторизовать многочлен $x^2-a$ над $\mathbb{Q}(\zeta_n)$.
О, и за это спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group