Усреднение выражения в 3D пространстве

[madschumacher]

Добрый вечер.

Прошу прощения за очередной глупый вопрос.
У меня имеются две системы координат, одна из которых повёрнута в 3D пространстве относительно другой, и выражение вида
$ F = a_0 \cdot n_{z} \cdot \sin(a_1 \cdot n_{x}) \cdot \sin(a_2 \cdot n_{y} ) \cdot \sin(a_3 \cdot n_{z} ) \cdot \sin(a_4 \cdot n_{x} ) \cdot \sin(a_4 \cdot n_{y} ) \ , $
где $a_k$ -- некие постоянные, а $n_\alpha = \mathbf{e}_\alpha \cdot \mathbf{e}_\alpha' \ (\alpha = x,y,z)$ -- проекция осей ($\mathbf{e}$) одной системы координат на другую ($\mathbf{e}_\alpha' = \mathcal{R} \mathbf{e}_\alpha$, где $\mathcal{R}$ -- матрица поворота). Я бы хотел проинтегрировать это выражение по всем возможным ориентациям второй системы координат.
Я пытался параметризовать вращение через матрицу поворота, выраженную через углы Эйлера, но это чересчур громоздко. В английской Вики нашёл другие параметризации (через кватернионы, или как вращение вокруг оси), но к сожалению в этом тоже не увидел удобного способа усреднения.

Есть ли какой-то способ более подходящий под такое выражение?

[StaticZero]

Разумеется, при варьировании ориентации штрихованной системы координат $n_\alpha$ не абы какие, а связаны друг с другом. У меня получается их развязать вот так:

$$ \begin{cases} n_x &= r, \\ n_y &= \cos \phi \cos \psi + r \sin \phi \sin \psi, \\ n_z &= r \cos \phi \cos \psi + \sin \phi \sin \psi, \end{cases} $$

где $r, \psi, \phi$ не зависят друг от друга. Если исходный интеграл предполагается брать в виде $\iiint \mathrm dn_x \mathrm dn_y \mathrm dn_z \ f(n_x, n_y, n_z)$, то он запишется в виде

$$ \int_{-1}^1 \mathrm dr \ (1 - r^2) \int_0^{2 \pi} \mathrm d\psi \int_{0}^{2 \pi} \mathrm d \phi \ |\sin^2 \phi - \sin^2 \psi| \times F(r, \psi, \phi) $$

где $F(r, \psi, \phi) = f(n_x(r), n_y(r, \psi, \phi), n_z(r, \psi, \phi))$.

[madschumacher]

StaticZero, спасибо большое за ответ. Т.е. это всё те же углы Эйлера, только с заменой $\theta \rightarrow r = \cos(\theta)$?
Меня собственно во всём этом смущают две суммы для $n_y, n_z$, т.к. нужно будет собрать кучу комбинаций при интегрировании.

Я вообще думал, что можно как-то интегрировать напрямую по $(n_x,n_y,n_z)$ как-то правильно их связав. И в голове возникало только что-то типа такого: матрицу вращения $\mathcal{R}$ можно записать как состоящую из элементов $n_{\alpha\beta} = \mathbf{e}_\alpha \cdot \mathbf{e}_\beta' \ (\alpha,\beta = x,y,z)$, соответственно $n_\alpha = n_{\alpha \alpha}$ в этих обозначениях. У нас должно быть 3 независимых параметра, но они должны быть как-то связаны. След матрицы вращения обязан быть представим как $\operatorname{tr}(\mathcal{R}) = n_x + n_y + n_z = 1 + 2 \cos(\varphi)$, где $\varphi$ -- некий угол поворота. Соответственно, $\cos(\varphi)$ заменяем на $\xi = \cos(\varphi) \in [-1;1]$, и из неравенства $-1 \leq n_z \leq 1$ получаем, что $n_z = 1 + 2 \xi - n_x - n_y, \ \xi \in \left[ \frac{n_x + n_y}{2} -1 ; \frac{n_x + n_y}{2} \right]$. Но что-то тут не так, а даже если так, то какой здесь Якобиан...

[StaticZero]

madschumacher в сообщении #1470858 писал(а):

Т.е. это всё те же углы Эйлера

Ну в каком-то смысле да. Когда я решал, прикинулся валенком, ничего не знающим про углы Эйлера и матрицы поворотов, только голая геометрия.

Убрал решение под спойлер. Про матрицы пока не думал.

(Решение)

Рассмотрим конфигурацию, как на рисунке.


Оси $\color{blue} x, x'$ синие, ось $y$ красным (не раскрашено из-за ограничений) и ось $\color{green!35!black} z$ зелёным. Прерывистые оси внутри единичной сферы относятся к фиксированному стандартному базису.

Выберем какое-то направление вектора $\color{blue} \mathbf e_x'$ и проведём ортогональную ему плоскость через начало координат (голубая). Эта плоскость пересечёт $xOy$ по некоторой линии. Пустим вдоль линии вектор $\color{orange} \mathbf f$ так, как на рисунке (критерий: если $\color{blue} \mathbf e_x'$ в верхней полусфере, то $\color{orange} \mathbf f$ можно всегда выбрать так, чтобы его компонента $f_y \geqslant 0$). Угол между $\color{orange} \mathbf f$ и красной осью $y$ обозначим $\psi$.

Зафиксировав $\psi$, мы убрали степень свободы, связанную с вращением вектора $\color{blue} \mathbf e_x'$ вокруг оси $\color{blue} x$ при сохранении заданного угла $\color{blue} xx'$ между ними. Остаётся последняя степень свободы: пара векторов $\mathbf e_x'$ и $\mathbf e_y'$ (не показаны здесь), которая бегает в голубой плоскости, может быть повёрнута как угодно. Зададим их ориентацию углом $\phi$ так, что при $\phi = 0$ вектор $\mathbf e_y'$ совпадёт с $\color{orange} \mathbf f$, а вектор $\mathbf e_z'$ совпадает с пурпурным вектором на рисунке, лежащим в голубой плоскости и ортогональным вектору $\color{orange} \mathbf f$. Тройка углов $\psi, \phi, xx'$, очевидно, независима.

Остаётся сосчитать углы: дано $\psi, \phi$, найти $yy'$, $zz'$.

Про угол $yy'$ всё понятно: это третья сторона сферического треугольника, образованного двумя сторонами $\psi$ и $\phi$ и угол между ними $\pi - xx'$,

(на рисунке чёрным -- вектор $\mathbf e_y'$, $\mathbf e_z'$ не показан), так что

$$ n_y = \cos yy' = \cos \psi \cos \phi + \cos(\pi - xx') \sin \psi \sin \phi = \cos \psi \cos \phi - n_x \sin \psi \sin \phi. $$

С углом $zz'$ всё несколько сложнее: на рисунке он показан зелёным. Фиолетовый это тот же вектор, что и на первом рисунке, а его прерывистая версия --- это его проекция на плоскость $yz$.

Искомая сторона -- светло-зелёная. Её предлагается найти из треугольника "светло-зелёный : рыжий : розовый", где розовый $\omega$ - это вспомогательная сторона, которую можно найти из треугольника "чёрный : синий : розовый". Между чёрным и синим угол прямой, между синим и рыжим тоже прямой.

Угол между рыжим и розовым = $\pi/2$ + угол между синим и розовым $A_1$, через теорему синусов получим $\sin A_1 = \sin \phi/\sin \omega$, так что

$$\begin{align*} n_z = \cos zz' &= \cos \omega \cos \psi + \sin \omega \sin \psi \cos \left(\frac{\pi}{2} + A_1 \right) = \\ &= \cos \omega \cos \psi - \sin \omega \sin \psi \sin A_1 = \cos \omega \cos \psi - \sin \psi \sin \phi. \end{align*} $$

Очевидно, что $\cos \omega = \cos \phi \cos xx' = n_x \cos \phi$, так что

$$ n_z = n_x \cos \psi \cos \phi - \sin \psi \sin \phi. $$

(я там в первом посте ошибся, потому что рисунок тогда себе нарисовал для угла $-\psi$; правильный вариант вот этот)

$$ \begin{cases} n_x &= r, \\ n_y &= \cos \psi \cos \phi - r \sin \psi \sin \phi, \\ n_z &= r \cos \psi \cos \phi - \sin \psi \sin \phi \end{cases} $$

Якобиан такой же будет, тем не менее.

[vpb]

madschumacher в сообщении #1470858 писал(а):

Я вообще думал, что можно как-то интегрировать напрямую по $(n_x,n_y,n_z)$ как-то правильно их связав.

Ну, да. В качестве первого шага надо, наверное, найти условия на $n_x$, $n_y$, $n_z$, которые необходимы и достаточны для того, чтобы существовала матрица вращения с такими диагональными элементами. Эти условия --- одно, или вероятнее несколько, полиномиальных неравенств. Как их конкретно найти --- прямо сейчас не скажу. Может, кто-то еще.
Потом надо будет выразить элемент объема в пространстве вращений через элемент объема в пространстве параметров $n_x$, $n_y$, $n_z$. Ох, нелегкая это работа ...

-- 27.06.2020, 13:29 --

StaticZero в сообщении #1470844 писал(а):

Если исходный интеграл предполагается брать в виде

Голуба, так элемент объема в пространстве поворотов --- это не $dn_x\,dn_y\,dn_z$. Пространство поворотов --- это группа $SO(3)$, на ней есть некий канонический (единственный с точностью до постоянной) инвариантный объем.

-- 27.06.2020, 13:36 --

vpb в сообщении #1470917 писал(а):

Ох, нелегкая это работа .

Тем более что, как сейчас понял из двумерного случая, якобиан будет с полюсами, т.е. интеграл получается несобственный.

[StaticZero]

vpb в сообщении #1470917 писал(а):

Голуба, так элемент объема в пространстве поворотов --- это не $dn_x\,dn_y\,dn_z$. Пространство поворотов --- это группа $SO(3)$, на ней есть некий канонический (единственный с точностью до постоянной) инвариантный объем.

Инвариантный объём это, конечно, хорошо, но я рассчитываю, что madschumacher знает, как его писать в виде $f(n_x, n_y, n_z) \ \mathrm dn_x \ \mathrm dn_y \ \mathrm dn_z$. Неравенство $f$ единице принципиально в моих рассуждениях ничего не меняет, кроме множителя, который легко найти, если $f$ известно.

[vpb]

StaticZero в сообщении #1470919 писал(а):

но я рассчитываю, что madschumacher знает, как его писать в виде $f(n_x, n_y, n_z) \ \mathrm dn_x \ \mathrm dn_y \ \mathrm dn_z$

Хм. Я вот лично не знаю (да и повода задумываться об этом не было). Тем более ТС.

Я вот еще подумал, что интегрировать по $n_x$, $n_y$, $n_z$ --- это, пожалуй, трудновато будет. По-моему, надо элемент объема в $SO(3)$ через углы Эйлера выразить (готов побиться об заклад, что это можно просто выгуглить), потом подставить в исходное $F$, и интегрировать численно.

Возникает еще вопрос, в каком виде ТС хочет ответ получить. Если в квадратурах, т.е. в конечном виде --- едва ли. Асимптотически-приближенно --- тоже сомнительно (но есть вероятность, что в соответствующей предметной области специалисты уже порылись и что-то придумали. Между прочим, узнал из Википедии, что герр Меркель (на самом деле у него другая фамилия) --- знаменитый квантовый химик)). Так что, наверное, численно.

-- 27.06.2020, 14:13 --

madschumacher в сообщении #1470833 писал(а):

но это чересчур громоздко.

А, наверное, по другому не выйдет. Простые в отношении вычисления задачи --- они только в учебниках.

-- 27.06.2020, 14:16 --

madschumacher в сообщении #1470858 писал(а):

две суммы для $n_y, n_z$, т.к

Что за "две суммы" ? Интегральные, когда приближенно интеграл считают ?

[vpb]

madschumacher в сообщении #1470833 писал(а):

Я бы хотел проинтегрировать это выражение по всем возможным ориентациям второй системы координат.

Уточним. Проинтегрировать --- в смысле усреднить ? Потому что иначе возникает неопределенность, какую именно меру (а оне определены с точностью до умножения на постоянную) на множестве всех ориентаций, т.е. на группе $SO(3)$, брать. Или иначе говоря: Если "проинтегрировать" в вашем смысле функцию, тождественно равную единице, то должна получиться опять-таки единица ?

[madschumacher]

vpb в сообщении #1470917 писал(а):

Ох, нелегкая это работа ...

Да углы Эйлера как-то не сильно проще тоже.

StaticZero в сообщении #1470919 писал(а):

я рассчитываю, что madschumacher знает, как его писать в виде

Неа, понятия не имею. В случае одного из углов Эйлера ($\theta$) -- очевидно, но для остальных -- не знаю.

vpb в сообщении #1470917 писал(а):

Тем более что, как сейчас понял из двумерного случая, якобиан будет с полюсами, т.е. интеграл получается несобственный.

Плохая новость.

vpb в сообщении #1470925 писал(а):

По-моему, надо элемент объема в $SO(3)$ через углы Эйлера выразить (готов побиться об заклад, что это можно просто выгуглить)

Через углы Эйлера я знаю, как это выражается.

vpb в сообщении #1470925 писал(а):

Возникает еще вопрос, в каком виде ТС хочет ответ получить. Если в квадратурах, т.е. в конечном виде --- едва ли. Асимптотически-приближенно --- тоже сомнительно (но есть вероятность, что в соответствующей предметной области специалисты уже порылись и что-то придумали.

Хотелось бы аналитическое (или приближённое) выражение, и думал для такой задачки должны быть какие-то общеизвестные инструменты помимо углов Эйлера, которые помогли бы с ней справиться с меньшими затратами.

vpb в сообщении #1470925 писал(а):

Простые в отношении вычисления задачи --- они только в учебниках.

Это понятно, я и не ожидал ответа в два счёта.

vpb в сообщении #1470925 писал(а):

Что за "две суммы" ? Интегральные, когда приближенно интеграл считают ?

А, там $n = a+b$, соответственно получается больше выражений, если синус суммы расписывать, чтобы взять интегралы после этого.

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1470925 писал(а):

Между прочим, узнал из Википедии, что герр Меркель (на самом деле у него другая фамилия) --- знаменитый квантовый химик)).

Ну так и Меркель сама кристаллохимик. При чём тут они?

vpb в сообщении #1470941 писал(а):

Уточним. Проинтегрировать --- в смысле усреднить ?

Да, усреднить по всем ориентациям. Например, проинтегрировать по всем углам Эйлера.

[vpb]

madschumacher в сообщении #1470942 писал(а):

Через углы Эйлера я знаю, как это выражается.

И как ? Возможно, Вы смысл моей фразы неправильно поняли.

madschumacher в сообщении #1470942 писал(а):

Хотелось бы аналитическое (или приближённое) выражение, и думал для такой задачки должны быть какие-то общеизвестные инструменты помимо углов Эйлера, которые помогли бы с ней справиться с меньшими затратами.

Аналитического быть не может, имхо. А приближенное --- разве только в окрестности нуля (т.е. точки $(a_1,a_2,a_3)=(0,0,0)$. Общеизвестными же соответствующие инструменты могут быть разве что для специалистов в данной области ... во всяком случае, не для математиков общего профиля. Больно интегральчик сложный. Почему я вам, кстати, про того герра и написал (не он один, конечно, специалист, просто я о других ничего не знаю).

madschumacher в сообщении #1470942 писал(а):

А, там $n = a+b$

Откуда $a$ и $b$ ? Числа $n_x$, $n_y$, $n_z$ полностью определяются поворотом одной системы относительно другой, откуда еще какие-то параметры ?

[madschumacher]

vpb в сообщении #1470945 писал(а):

И как ? Возможно, Вы смысл моей фразы неправильно поняли.

Возможно. Как я понял: для матрицы вращения, выраженной через углы Эйлера, можно найти например на MathWorld, после чего надо взять диагональные элементы этой матрицы, и проинтегрировать выражение с Якобианом $\sin(\theta)$.

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1470945 писал(а):

Почему я вам, кстати, про того герра и написал (не он один, конечно, специалист, просто я о других ничего не знаю).

Насколько я знаю, конкретно он -- кнопкотык, а не рыцарь карандаша и ластика. И почему именно из Германии надо искать кого-то, вроде на Руси не перевелись богатыри тех же принадлежностей.

vpb в сообщении #1470945 писал(а):

Откуда $a$ и $b$ ?

Выше StaticZero привёл выражения, где $a,b$ -- произведения синусов/косинусов от разных углов.

[vpb]

madschumacher в сообщении #1470950 писал(а):

И почему именно из Германии надо искать кого-то, вроде на Руси не перевелись богатыри тех же принадлежностей.

Да я не рекомендовал к нему обращаться, отнюдь ! Просто к слову пришлось. В общем, забудьте.

madschumacher в сообщении #1470950 писал(а):

Выше StaticZero привёл выражения, где $a,b$ -- произведения синусов/косинусов от разных углов.

Не понимаю. Он ни про какие $a$ и $b$ не писал.

(Вы, извините, как-то вообще часто очень, просто крайне туманно, непонятно выражаетесь. Я это заметил еще заглядывая в учебник, который Вы писали).

-- 27.06.2020, 16:56 --

madschumacher в сообщении #1470950 писал(а):

Как я понял: для матрицы вращения, выраженной через углы Эйлера, можно найти например на MathWorld, после чего надо взять диагональные элементы этой матрицы, и проинтегрировать выражение с Якобианом $\sin(\theta)$.

Извините, смысл этой фразы тоже не понял.

-- 27.06.2020, 17:08 --

А, понял, что за суммы в связи с $n_y$ и $n_z$ вы имели в виду. Ну, в сравнении с другими проблемами это мелочи.

-- 27.06.2020, 17:28 --

vpb в сообщении #1470952 писал(а):

Извините, смысл этой фразы тоже не понял.

Кажется, понял все же, что вы тут в виду имеете. На всякий случай сейчас еще подумаю.

[madschumacher]

vpb в сообщении #1470952 писал(а):

Не понимаю. Он ни про какие $a$ и $b$ не писал.

Например,
$n_y = \underbrace{\cos \psi \cos \phi}_a + - \underbrace{r \sin \psi \sin \phi}_b$
Просто потом, чтобы взять интеграл нужно будет расписывать $\sin(\alpha(a+b))$, получится много слагаемых.

vpb в сообщении #1470952 писал(а):

Извините, смысл этой фразы тоже не понял.

Из той ссылки
$n_x = a_{11} = \cos(\psi)\cos(\phi)-\cos(\theta)\sin(\phi)\sin(\psi)$
$n_y =a_{22} =-\sin(\psi)\sin(\phi)+\cos(\theta)\cos(\phi)\cos(\psi)$
$n_z = a_{33} =\cos(\theta)$
Проинтегрировать нужную функцию с этими заменами ($\iiint d\phi d \theta d\psi \sin(\theta) F(n_x(\phi,\theta,\psi),n_y(\phi,\theta,\psi),n_z(\phi,\theta,\psi))$) не представляет концептуальных сложностей, только технические.

[amon]

Не знаю, поможет ли, но...
Кроме углов Эйлера иногда полезна такая параметризация:
Поворот задается единичным вектором вдоль положительного нарпавления оси вращения $\mathbf{n}$ и углом поворота $\varphi.$
Преобразование векторов

$$\mathbf{r}'=\mathbf{r}\cos\varphi+\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{r})(1-\cos\varphi)+[\mathbf{n}\times\mathbf{r}]\sin\varphi$$

[Утундрий]

Обзывается Формула поворота Родрига.