Закон движения для релятивистской частицы

[Prog_gen]

Здравствуйте, имею следующую задачу:
Релятивистская частица массой $m$ движется в поле тяжести $\vec{g} = -g\vec{e_z}$. Найти закон движения.
Начальные условия: $r(0) = 0, \vec{v}(0) = v_o\vec{e_z}$
1)Составляю функцию Лагранжа для релятивистской частицы: $\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - mgz$
2)Легко составить 3 интеграла движения(две циклические координаты и энергия):

\begin{cases} p_x = \frac{m\dot{x}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ p_y = \frac{m\dot{y}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ \varepsilon = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + mgz \\ \end{cases}
3)Учитывая начальные условия получаем систему уравнений.
\begin{cases} \dot{x} = 0 \\ \dot{y} = 0 \\ \varepsilon = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{{\dot{z}}^2}{c^2}}} + mgz \\ \end{cases}
4)Выражая $\dot{z}$, получаю:
$\dot{z} = \pm \sqrt{c^2 - (\frac{mc^3}{\varepsilon - mgz})^2}$
5)Закон движения в квадратурах имеет вид:
$t - t_0 = \pm \int\limits_{z_0}^{z} \frac{dz}{\sqrt{c^2 - (\frac{mc^3}{\varepsilon - mgz})^2}}$

Вопрос: Дошел до квадратуры, но совершенно не понимаю, что делать со знаком, интуитивно, скорость должна изменить свое значение и интеграл я должен разбить на две части(долетел до вершины и полетел вниз), но как это можно усмотреть без интуиции, не получается додумать..

[Pphantom]

Как-то похоже, что вы пытаетесь убивать воробьев из пушки. Задача совершенно очевидно одномерная, так что выписывать происходящее с координатами $x$ и $y$ стоит разве что от избытка педантичности, да и все остальное, похоже, чисто кинематическая задача (хотя и несколько странным условием).

[Prog_gen]

Pphantom в сообщении #1459772 писал(а):

Как-то похоже, что вы пытаетесь убивать воробьев из пушки.

Согласен с этим замечанием.В начале, я просто хотел посмотреть, как у меня получится решить данную задачу таким образом, но столкнувшись с этой проблемой, задумался, где она может еще появится. Если мы усложним вид поля, то там тоже появятся точки поворота, но обработать это будет уже сложнее, вот я и решил на примере этой задачи разобраться, и найти путь, как это можно сделать правильно, чтоб была возможность масштабировать на более сложные случаи.

Edit: К примеру в задачах по нахождению траекторий в центральных полях вообще не обращают внимания на знаки(как пример нахождение траектории для доказательства первого закона Кеплера)

[Geen]

Prog_gen в сообщении #1459766 писал(а):

Вопрос: Дошел до квадратуры

Но, вообще говоря, со знаком надо разбираться ещё в пункте 4)... именно здесь появляются "две ветви" решения. А дальше решаем: какой ветви соответствуют начальные условия, сшиваются ли и где и как эти ветви, происходит ли при заданных начальных условиях переход с одной ветви на другую.
Как бы про всё это (только гораздо лучше, чем я написал) рассказывают в курсе диффуров.

[Prog_gen]

Geen в сообщении #1459785 писал(а):

Как бы про всё это (только гораздо лучше, чем я написал) рассказывают в курсе диффуров.

Да, я именно про это, во всех учебниках теормеха пишут, что знак выбирается исходя из начальных условий, и все, на этом анализ заканчивается, что немного смущает, а в диффурах еще не встретился с этой ситуацией..

[amon]

Prog_gen в сообщении #1459766 писал(а):

1)Составляю функцию Лагранжа для релятивистской частицы: $\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - mgz$

А мне эта задача совсем не нравится. Вообще, для гравитационного поля да еще в релятивистской науке существует ОТО, и там вообще все не так. Если поле считать слабым, то в линейном по полю приближению будет

$$ S=-mc\int ds;\quad ds^2=\left(1+\frac{2\varphi}{c^2}\right)c^2dt^2-\left(1-\frac{2\varphi}{c^2}\right)d\mathbf{r}^2, $$

где $\varphi$ -- гравитационный потенциал. Выражение $\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} - mgz,$ IMHO, не является корректным приближением. Надо либо крестик корень разлагать и писать нерелятивистскую функцию, либо гравитационный потенциал под корень заносить.

[Pphantom]

amon в сообщении #1459792 писал(а):

А мне эта задача совсем не нравится.

Меня брали подобные же сомнения, но в конечном счете кажется, что это просто задача на движение с постоянным ускорением в сопутствующей системе отсчета (которую ее автор снабдил неудачным антуражем). Т.е. слова про поле тяжести можно забыть и оставить лишь постоянное ускорение.

[amon]

Pphantom в сообщении #1459794 писал(а):

Т.е. слова про поле тяжести можно забыть

Заменить на электрическое, и все сойдется.

[Pphantom]

amon в сообщении #1459797 писал(а):

Заменить на электрическое, и все сойдется.

Релятивистская заряженная частица, движущаяся с ускорением... Проще уж просто написать про ускорение, не вдаваясь в детали того, за счет чего оно реализуется, иначе в те или иные дебри все равно придется влезть.

[amon]

Pphantom в сообщении #1459798 писал(а):

Релятивистская заряженная частица, движущаяся с ускорением...

Оно конечно, но тут фантазию решающего можно ограничить фразой "тормозным излучением пренебречь", а в исходной задаче подобная фраза как-то не придумывается.

[Утундрий]

Куда-то вы не туда завернули. Вопрос-то, в сущности, в этом:

Prog_gen в сообщении #1459766 писал(а):

Дошел до квадратуры, но совершенно не понимаю, что делать со знаком, интуитивно, скорость должна изменить свое значение и интеграл я должен разбить на две части(долетел до вершины и полетел вниз), но как это можно усмотреть без интуиции, не получается додумать..

То есть в банальном неумении совершить ряд простейших математических действий.

[Pphantom]

Так на него уже Geen ответил. Ну и заодно переделка решения к кинематическому варианту сделает его чисто математически проще.

[Prog_gen]

Спасибо за замечание о постановке задачи.
Я наверное переформулирую вопрос:
1)Закон Ньютона: $m\ddot{x} = F_x(x)$
2)Домножу на $dx$: $\ddot{x}dx = \dot{x}d\dot{x} = \frac{1}{m}F_x(x)dx$
3)Интегрируя это уравнение я получаю: $\frac{\dot{x}^2}{2} - \frac{\dot{x}^2_0}{2} = \int \limits ^x_{x_0}\frac{1}{m}F_x(x)dx $
4) $\dot{x} = \pm \sqrt{\frac{2}{m}\int \limits ^x_{x_0}F_x(x)dx + x_0^2}$
5)$t - t_0 = \pm \int \limits ^x_{x_0} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}\int \limits ^x_{x_0}F_x(x)dx + x_0^2}}$

Вопрос: Во всех учебниках по теормеху(в частности в Ольховском) пишут, что знак выбирается исходя из начальных условий.
Но у меня возникает внутреннее ощущение, что нужно по-честному разбивать (4) на составляющие с положительной скоростью и отрицательной и после этого (5) тоже будет разбит на суммы интегралов с положительной скоростью и отрицательной.
И вот не знаю, что с этим делать, буду благодарен, если подкинете литературу об этом, не получилось самому разобраться

[Утундрий]

Может в каком-то задачнике/решебнике по дифурам что-то такое и разжёвывается, хотя это проще нарисовать, чем объяснить. Попробуйте помедитировать над графиком зависимости $\dot{x}$ от $x$.

[DimaM]

Prog_gen
Зря вы полезли в энергию. Через импульс все гораздо проще.
Второй закон Ньютона в форме, пригодной и в релятивистском случае

$$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}=m\vec{g}=\operatorname{const}$$

интегрируется элементарно. Далее нужно найти зависимость $v(t)$ и еще раз проинтегрировать, получив зависимость координаты.