система Коши-Римана и ее пространственные обобщения

[hamilton]

Обобщенная неевклидова модификация системы $(R)$, обозначенной так в честь М. Рисса, была инициирована автором совместно с профессором K\"{a}hler, University of Aveiro, Portugal в ноябре 2015 года.
Первая публичная презентация в контексте статической системы Максвелла в неоднородных средах была организована в августе 2018 года в рамках FTHD2018, University of Tampere, Finland
The Static Maxwell System in Three Dimensional Inhomogeneous Isotropic Media and Generalized Non-Euclidean Modification of the System $(R)$
https://events.uta.fi/fthd2018/programme/
Препринт размером в 39 страниц выложен в открытый доступ 16 апреля 2020 года
https://arxiv.org/pdf/1904.08299v5.pdf
В частности, там можно видеть ссылку на статью 2017 года
Bryukhov, D., K\"{a}hler, U.: The static Maxwell system in three dimensional axially symmetric inhomogeneous media and axially symmetric generalization of the Cauchy-Riemann system.
Adv. Appl. Clifford Algebras 27(2), 993-1005 (2017)

Кому интересна проблематика модифицированного кватернионного анализа и его приложений, подключайтесь к открытой дискуссии на русском и на английском
https://www.researchgate.net/project/mo ... plications

[pogulyat_vyshel]

Несколько настораживает, мягко говоря, что статья по мат. физике практически ни в одном рецензируемом журнале ни по физике ни по дифференциальным уравнениям не публикуется, а публикуется в странноватом Adv. Appl. Clifford Algebras. Я не специалист в данном вопросе, но общий жизненный опыт мне подсказывает, что что-то тут не то. Ну и кватернионы тоже нехороший маркер. И это вот я даже не пытался в статью вникать:)

[hamilton]

Кто не хочет разбираться в современной тематике кватернионного анализа и для кого кватернионы - нехороший маркер, пусть проходят мимо, это не их тема
Я занимаюсь этими вопросами более 30 лет, мне есть с чем сравнивать новые результаты с теми, что известны в мировой литературе

Инициатор направления Prof. Leutwiler, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Первые работы были опубликованы в 1992 году
Leutwiler, H.: Modified Clifford analysis. Complex Var. Theory Appl. 17, 153-171 (1992)
Leutwiler, H.: Modified quaternionic analysis in R3. Complex Var. Theory Appl. 20, 19-51 (1992)

Журнал Complex Variables and Elliptic Equations тоже ни о чем не говорит? В Институте Стеклова и на мехмате МГУ его отлично знают

[pogulyat_vyshel]

hamilton в сообщении #1459604 писал(а):

Кто не хочет разбираться в современной тематике кватернионного анализа и для кого кватернионы - нехороший маркер, пусть проходят мимо, это не их тема

Это понятно. Меня вот напрягает, что кватернионы живут в векторном пространстве, а их умножение определяется через систему координат, а уравнения мат.физики это уравнения на многообразиях, причем инвариантные, не зависящие от систем координат

-- 02.05.2020, 19:08 --

и какое отношение к физике должно иметь выдуманное Гамильтоном умножение?

[hamilton]

pogulyat_vyshel в сообщении #1459607 писал(а):

и какое отношение к физике должно иметь выдуманное Гамильтоном умножение?

Чтобы понять, придется все же прочитать статью...

Классическая позиция - вы Пастернака читали?
Нет, не читал, но гневно осуждаю...

В настоящее время статья находится на рассмотрении в одном из западных журналов по математической физике.
Интересны позиции тех, кто прочитает, а кто не хочет - не вопрос, это форум по очень разным темам.
Читать никто не заставляет, однако без чтения статьи смысла и результатов точно не понять
Гарантирую, это не легкое чтение даже для тех, кто работает в этой области десятки лет

[arseniiv]

pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

Про то, что тут предлагают, ничего не скажу (не смотрел, смотреть не буду, но тоже подозреваю), но про кватернионы per se могу. Если взять трёхмерное вещественное евклидово пространство $V$, то подалгебра $C\ell^+(V)$ всех элементов чётной степени в алгебре Клиффорда над ним будет изоморфна как раз алгебре кватернионов, где можно назначить в качестве $i, j, k$ произвольный ортонормированный базис $\wedge^2 V$, только в правильном порядке ($C\ell^+(V)$ носителем как раз имеет $\wedge^0 V\oplus \wedge^2 V$). Умножение, сложение, сопряжение и что там ещё унаследуются от клиффордовой структуры, которая в свою очередь порождается в конечном итоге скалярным произведением (и для получения кватернионов — обязательно евклидовым). То есть кватернионы можно определить вполне инвариантно (а вот другое дело насколько они уместны в применении там или сям). Можно определить их инвариантно и в обход формализма алгебр Клиффорда, пойдя «исторически наоборот» и определив произведение на $\mathbb R\otimes V$, используя скалярное произведение с $V$, но понадобится $V$ ориентировать, потому что векторное произведение тоже понадобится; $(s_1, v_1)(s_2, v_2) = (s_1s_2 - v_1\cdot v_2, s_1v_2 + s_2v_1 + v_1\times v_2)$ — можно видеть, что задание настолько инвариантное, насколько возможно (но приходится брать его в каком-то смысле с потолка, в отличие от естественно возникающего произведения на $\wedge^0 V\oplus \wedge^2 V$).

(Вообще кватернионы можно получить даже целиком как алгебру Клиффорда, но она не будет иметь никакой нормальной связи с трёхмерным пространством (и потребует «антиевклидово» скалярное произведение, дающее отрицательные квадраты для всех векторов). Чётная же подалгебра получается аналогично алгебре, изоморфной комплексным числам, для двумерного евклидова пространства. Надо ещё заметить, что в таком виде эти алгебры не имеют отношения к векторам самого пространства, как любят делать; чтобы нормально что-то делать с векторами, надо брать полную алгебру, которая в двумерном случае не изоморфна $\mathbb C$ и в трёхмерном не изоморфна $\mathbb H$.)

[Утундрий]

hamilton
Выберите, если не трудно, один конкретный результат и повторите его здесь, средствами форума.

[hamilton]

Утундрий в сообщении #1459631 писал(а):

hamilton
Выберите, если не трудно, один конкретный результат и повторите его здесь, средствами форума.

Это все равно, что шахматисту, который сыграл большую партию и записал последовательность ходов, говорят:
"Если нетрудно, выделите и повторите какую-нибудь часть из партии"...

Примерно тот же случай, когда говорят, из песни слова не выкинешь...
Смысл выясняется в сложном контексте, где необходимы ссылки на работы, опубликованные другими авторами
Поэтому я и говорю - это не легкое чтение...
Во время чтения возникнут даже не десятки, а сотни вопросов

Так в этом и смысл - побудить к живому творчеству
Главное отличие от комплексного анализа - исследуются эллиптические уравнения с переменными коэфффициентами
Как можно видеть, возникающие пространственные гармонические отображения имеют существенно иные геометрические свойства...
Если кто-то имел дело с generalized axially symmetric potential theory (GASPT), это уже довольно близко

К сожалению, в России таких специалистов мало, хотя на Западе это классика...
Weinstein, A.: Generalized axially symmetric potential theory. Bull. Amer. Math. Soc. 59(1), 20-38 (1953)

В Ростове на Дону по долгосрочному контракту работает наш бывший соотечественник Кравченко
его сайт на английском https://sites.google.com/site/vvkravche/
У него хорошие книги
Kravchenko, V. V. , Applied quaternionic analysis. Heldermann-Verlag, Research and Exposition in Mathematics Series, v. 28, 2003
Kravchenko, V.V.: Applied Pseudoanalytic Function Theory, Series: Frontiers in Mathematics. Birkhauser, Basel (2009)

В СССР работал замечательный математик Положий
Положий Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., 1973.

И конечно, очень большой вклад внес Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции, 2 изд., 1988.

[Lia]

hamilton
Тем не менее, обозначьте предмет обсуждения и займитесь именно его изложением, не прибегая к ссылкам на сторонние ресурсы. Можно сжато, если появятся вопросы, детализируете.

[pogulyat_vyshel]

hamilton в сообщении #1459639 писал(а):

исследуются эллиптические уравнения с переменными коэфффициентами

замечательно! Это стандартный объект, сформулируйте одну из своих теорем об этом объекте здесь, без доказательства, в общепринятых в УРЧП терминах

[hamilton]

Lia в сообщении #1459651 писал(а):

hamilton
Тем не менее, обозначьте предмет обсуждения и займитесь именно его изложением, не прибегая к ссылкам на сторонние ресурсы. Можно сжато, если появятся вопросы, детализируете.

Без проблем...
The Static Maxwell System in Three Dimensional Inhomogeneous Isotropic Media, Generalized Non-Euclidean Modification of the System $(R)$ and Fueter Construction
Abstract.
This paper extends our previous joint paper with K\"{a}hler, published in 2017, on problems of the static Maxwell system in three dimensional axially symmetric inhomogeneous media.
Applied pseudoanalytic function theory, developed by Kravchenko, allows us to characterize new subclasses of meridional and transverse electrostatic fields in axially symmetric inhomogeneous media in two dimensional setting.
Quaternionic analysis in $\mathbb R^3$, using analytic solutions of the system $(R)$, allows us to characterize new subclasses of harmonic solutions of the static Maxwell system in homogeneous media in three dimensional setting.
Leutwiler in 1992 initiated new approach of modified quaternionic analysis in $\mathbb R^3$, using analytic solutions of a hyperbolic non-Euclidean modification $(H)$ of the system $(R)$.
Applications of modified quaternionic analysis and contemporary hyperbolic function theory to problems of electrostatic fields in inhomogeneous media are presented now.
Some new classes of electrostatic potentials in three dimensional setting are implemented using Bessel functions.
The singular sets of the electric field gradient tensor allow us to characterize new geometric properties of meridional fields
in axially symmetric inhomogeneous media in the context of generalized axially symmetric potential theory (GASPT).
Fueter construction allows us to present a wide range of meridional electrostatic models.

Если будут более конкретные вопросы, то детализирую. Вопросов возникнут сотни, на все сразу не ответить

[novichok2018]

Про неточности: наш соотечественник Кравченко Владислав Викторович на самом деле работает в Мексике, в Керетаро, университет Синвестав. В Ростове он действительно работал на саббатикал по совмещению год назад, числится и сейчас, но живёт в Керетаро, где и находится. Он действительно ранее занимался анализом Клиффорда некоторое короткое время, но процитированная книга про другое в основном - теорию обобщённых аналитических функций.
Он давно занимается теорией операторов преобразования, вот недавно сборник вышел в Шпрингере по теме. Положий - действительно замечательный советский математик, из Киева. Его книги посвящены также теории обобщённых аналитических функций, в них нет ни одного слова про кватернионы и подобное. В книгах Векуа также нет ни слова про кватернионы и подобное. Вы путаете по незнанию теорию обобщённых аналитических (псевдоаналитических) функций и кватернионы/алгебры Клиффорда. Теория ОАФ на самом деле про обобщения системы уравнений Коши-Римана, это большой раздел математики.
Книг и работ по кватернионам и их приложениям (такие действительно есть в матфизике и их немало (приложений), в том числе к уравнению Максвелла, например), достаточно много, но похоже Вы их не знаете. Начать надо с книг Шпрёссика, Гильберт -Бегер и других. Можете попросить у Кравченко презентации Шпрёссика с конференций в Ростове, раз Вы про этот город упоминаете и как-то можете с ним связаться.

[hamilton]

pogulyat_vyshel в сообщении #1459653 писал(а):

hamilton в сообщении #1459639 писал(а):

исследуются эллиптические уравнения с переменными коэфффициентами

замечательно! Это стандартный объект, сформулируйте одну из своих теорем об этом объекте здесь, без доказательства, в общепринятых в УРЧП терминах

Могу дать только соответствующие ссылки
Theorem 3.2, Proposition 4.3, Theorem 4.4, Proposition 5.3
Без чтения статьи обсуждать отдельно УРЧП не вижу смысла

[Утундрий]

hamilton в сообщении #1459655 писал(а):

Вопросов возникнут сотни, на все сразу не ответить

Вопрос пока что один. Что конкретно вы хотите обсудить? Вариант "мне нужна бесплатная рецензия" не предлагайте.

[hamilton]

Утундрий в сообщении #1459661 писал(а):

hamilton в сообщении #1459655 писал(а):

Вопросов возникнут сотни, на все сразу не ответить

Что конкретно вы хотите обсудить?

Смысл - побудить российских математиков к живому творчеству в новой области