2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про дзета функцию Римана и постоянную Эйлера
Сообщение10.03.2006, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Пусть $\zeta(s)$ – дзета-функция Римана, $\gamma$ – постоянная Эйлера, обозначим $E(s)=\zeta(s)-1$, тогда имеем:
$\gamma=\frac {1}{2} E(2)+\frac {2}{3} E(3)+\frac{3}{4} E(4)+…(что-то подобное представлено на mathworld.wolfram.com)
$1=E(2)+E(3)+E(4)+E(5)+E(6)+E(7)+…$
$1=2E(3)+3E(4)+4E(5)+5E(6)+6E(7)+…$
$1=3E(4)+6E(5)+10E(6)+15E(7)+21E(8)+…$
$1=4E(5)+10E(6)+20E(7)+35E(8)+56E(9)+…$
$1=5E(6)+15E(7)+35E(8)+70E(9)+126E(10)+…$
и т.д.

$\frac {1}{2}= E(2)-E(3)+E(4)-E(5)+E(6)-…$
$\frac{1}{2^2}= 2E(3)-3E(4)+4E(5)-5E(6)+6E(7)+…$
$\frac{1}{2^3}= 3E(4)-6E(5)+10E(6)-15E(7)+21E(8)+…$
$\frac{1}{2^4}= 4E(5)-10E(6)+20E(7)-35E(8)+56E(9)+…$
$\frac{1}{2^5}= 5E(6)-15E(7)+35E(8)-70E(9)+126E(10)+…$
и т.д.
Далее из этих тождеств выводится бесконечно много подобных. Можно было бы выписать общие формулы, справедливые и для действительных, комплексных значений дзета-функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2006, 09:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
В общем случае для любых действительных, комплексных s справедливы следующие формулы:
${\Gamma}(s+1)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{\Gamma(n+s)(\zeta(n+s)-1)}{\Gamma(n)}}$
$\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s+1}}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{\Gamma(n+s)(-1)^{n}(\zeta(n+s)-1)}{\Gamma(n)}}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group