2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка интеграла с параметрами
Сообщение08.04.2020, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Имеется следующая функция
$$F(n,a)=\left(\int_0^1|nx^{n-1}-a|^{4/3}\,dx\right)^{3/4},\quad n>2,$$
которая в явном виде не считается, только численно. При фиксированных $n$ желательно оценить ее сверху и поточнее, какой-то достаточно простой и гладкой нелинейной функцией от $a$ (поскольку это все входит как часть в выражение, которое надо оптимизировать). Пока все, что придумалось, это
$$F(n,a)\le F(n,a_0)+|a-a_0|,$$
для любого $a_0$ (из неравенства треугольника для норм в $L^{4/3}[0,1]$). Но это не совсем то, что хотелось бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение08.04.2020, 22:12 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
При $n<a$ интеграл в скобках $I<a^{\frac 13}\int \limits _0^1(a-nx^{n-1})dx=a^{\frac 13}(a-1)$, и ,следовательно, $F(n,a)<a^{\frac 14}(a-1)^{\frac 34}$.
Если $n>a$, то запишем: $I=\int \limits _0^{x_0}+\int \limits _{x_0}^1, (x_0$ определим из условия: $nx_0^{n-1}-a=0, x_0=(\frac an)^{\frac 1{n-1}})$. В этом случае $$I<a^{\frac 13}\int \limits _0^{x_0}(a-nx^{n-1})dx+n^{\frac 13}\int \limits _{x_0}^1(nx^{n-1}-a)dx=a^{\frac 13}(ax_0-x_0^n)+n^{\frac 13}(1-x_0^n-a(1-x_0))$$Или:$$I<ax_0(1-\frac 1n)(a^{\frac 13}+n^{\frac 13})+n^{\frac 13}(1-a)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение08.04.2020, 22:35 


11/07/16
801
Почему нельзя применить численную оптимизацию, в которой значение интеграла находится численными методами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение08.04.2020, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1452921 писал(а):
Почему нельзя применить численную оптимизацию, в которой значение интеграла находится численными методами?

Потому что тогда работа будет не достаточно теоретической. В том числе поэтому ее уже один раз отклонили из журнала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение09.04.2020, 07:32 
Заблокирован


16/04/18

1129
Про параметр $a$ что-то добавите, есть на него ограничения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение09.04.2020, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
novichok2018 в сообщении #1452999 писал(а):
Про параметр $a$ что-то добавите, есть на него ограничения?


Нет, $a$ любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение12.04.2020, 12:23 
Заблокирован


16/04/18

1129
Можно попробовать оценить сверху по неравенству, которое принято называть Гёльдера.
Выберем в нём параметры $p=3, q=3/2$. Тогда оценим интеграл
$$
\int_0^1 1\cdot \left(|n\,x^{n-1} -a|^{4/3} \right)\,dx \leq (\int_0^1 1^3 \,dx)^{1/3}\times
\left(\int_0^1 \left(|n x^{n-1}-a}|^{4/3}\right)^{3/2}\,dx \right)^{2/3}=
$$
$$
=\left(\int_0^1 (n x^{n-1} -a)^2\,dx\right)^{2/3}.
$$
Последний интеграл считается явно, и надо учесть пару степеней для окончательной оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение16.04.2020, 09:12 
Заблокирован


16/04/18

1129
alisa-lebovski - оценка выше не пригодилась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение16.04.2020, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
novichok2018 в сообщении #1455051 писал(а):
alisa-lebovski - оценка выше не пригодилась?


Спасибо. К сожалению, оценка слишком грубая, дает совершенно разную асимптотику по $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка интеграла с параметрами
Сообщение17.04.2020, 08:53 
Заблокирован


16/04/18

1129
Исходный интеграл похоже выражается через гипергеометрические функции, например, при отрицательных $a$, чтобы ушёл модуль. Потом можно попробовать найти у гипергеометрической функции нужную Вам асимптотику, если это возможно и известно по справочникам. К сожалению, с асимптотиками гипергеометрии даже для более простых функций далеко не всё известно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group