2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изгибание минимальной поверхности
Сообщение08.02.2020, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Пусть некоторая двумерная поверхность $\mathcal{M}$ вложена в трехмерное евклидово пространство $$\mathcal{M} : ~ \mathbb{R}^2  \ni x  \to {\mathbf{y}}\left( x \right)  \in \mathbb{E}^3$$так, что её площадь экстремальна. (Такие поверхности принято называть минимальными)

Спрашивается, допускает ли такая поверхность изометрические изгибания? (Изогнутая поверхность также должна быть минимальной)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение08.02.2020, 23:31 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Локально -- да.
https://en.wikipedia.org/wiki/Associate_family

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение09.02.2020, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Slav-27
Спасибо, буду изучать.

Хотя, тяжеловата артиллерия. Наверное, доказать возможность б.м. изгибания можно и проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение09.02.2020, 13:29 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Утундрий в сообщении #1438937 писал(а):
Наверное, доказать возможность б.м. изгибания можно и проще.
Формулы по ссылке позволяют выразить $x_k(\zeta,\theta)$ через $x_k(\zeta)$. А именно, если параметризация переводит $0$ в $0$ (этого всегда можно добиться сдвигом), то $x_k(\zeta,\theta)=x_k(\zeta)\cos\theta-\tilde x_k(\zeta)\sin\theta$. Здесь $\tilde f(z)$ -- это мнимая часть голоморфной функции, которая равна $0$ в $0$ и у которой вещественная часть $f(z)$. Из этого, наверно, можно всё получить элементарными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение12.02.2020, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Замечательно, конечно, что для двумерного случая так много сделано, но меня-то вообще говоря больше интересует случай общий:$$\mathcal{M} : ~ \mathbb{R}^n  \ni x  \to {\mathbf{y}}\left( x \right)  \in \mathbb{E}^{n+1}$$на который вся эта изощрённая ТФКП вряд ли переносится. Буду пока что держать $n=2$ в уме и попытаюсь понять, что можно сделать для произвольного $n$. Локально, разумеется, локально.

Деривационных формулы для рассматриваемого случая имеют вид$$\left\{ {\begin{array}{rcl}
   {{\mathbf{y}}_{,\mu \nu }  &=& \Gamma _{\mu \nu }^\alpha  ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha }  + b_{\mu \nu } ~ {\mathbf{e}}}  \\
   {{\mathbf{e}}_{,\mu }  &=&  - b_\mu ^\alpha  ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha } }  \\
 \end{array} } \right. \eqno (1)$$Тогда метрика на поверхности есть $g_{\mu \nu } : = {\mathbf{y}}_{,\mu }  \cdot {\mathbf{y}}_{,\nu }$, а нормаль удовлетворяет естественным требованиям ${\mathbf{e}} \cdot {\mathbf{e}} = 1$ и ${\mathbf{e}} \cdot {\mathbf{y}}_{,\alpha }  = 0$

Условия интегрируемости $(1)$ дают$$\left\{ {\begin{array}{rcl}
   {{R^\alpha}_{\beta \mu \nu }  : = b_\mu ^\alpha  b_{\beta \nu }  - b_\nu ^\alpha  b_{\beta \mu }  &=& \Gamma _{\beta \nu ,\mu }^\alpha   - \Gamma _{\beta \mu ,\nu }^\alpha   + \Gamma _{\omega \mu }^\alpha  \Gamma _{\beta \nu }^\omega   - \Gamma _{\omega \nu }^\alpha  \Gamma _{\beta \mu }^\omega  }  \\
   {b_{\mu ;\nu }^\alpha   -  b_{\nu ;\mu }^\alpha  } &=& 0 \\

 \end{array} } \right. \eqno (2)$$
А минимальность $\mathcal{M}$ эквивалентна условию $$b_\alpha ^\alpha   = 0 \eqno (3)$$Из $(2)$ и $(3)$ выводятся полезные соотношения $R: = {R^{\alpha \beta }} _{\alpha \beta }  =  - b_\beta ^\alpha  b_\alpha ^\beta  $ и $b_{\mu ;\alpha }^\alpha   = 0$.

Теперь рассмотрим изогнутую поверхность$$\mathcal{\tilde M} : ~ \mathbb{R}^n  \ni x  \to {\mathbf{\tilde y}}\left( x \right)  \in \mathbb{E}^{n+1}$$где$${\mathbf{\tilde y}} = {\mathbf{y}} + \xi ^\alpha  ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha }  + \phi ~ {\mathbf{e}}$$и найдём на ней метрику. Для этого вычислим новые касательные векторы$${\mathbf{\tilde y}}_{,\mu }  = {\mathbf{y}}_{,\mu }  + A_\mu ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha }  + B_\mu  ~ {\mathbf{e}}$$где введены следующие обозначения$$\left| {\begin{array}{rcl}
   {A_\mu ^\alpha  &: =& {\xi ^\alpha}  _{;\mu }  - \phi ~ b_\mu ^\alpha  }  \\
   {B_\mu  &: =& \phi _{,\mu }  + \xi ^\alpha ~ b_{\alpha \mu}  \\
 \end{array} } \right.$$Всюду ниже будем пренебрегать членами выше первого порядка малости по $\xi$ и $\phi$. Тогда метрика на $\mathcal{\tilde M}$ даётся выражением$$\tilde g_{\mu \nu } : = {\mathbf{\tilde y}}_{,\mu }  \cdot {\mathbf{\tilde y}}_{,\nu }  = g_{\mu \nu }  + \left( {A_{\mu \nu }  + A_{\nu \mu } } \right) + ...$$Отсюда видно, что необходимым условием изометричности изгибания будет $A_{\mu \nu }  + A_{\nu \mu } = 0$, что приводится к виду$$\fbox{2\phi ~ b_{\mu \nu }  = \xi _{\mu ;\nu }  + \xi _{\nu ;\mu } } \eqno (4)$$ Из $(4)$ можно извлечь ${\xi ^\alpha}  _{;\alpha }  = 0$, что можно переписать как $\left( {\sqrt g ~ \xi ^\alpha  } \right)_{,\alpha }  = 0$.

Мы хотим, чтобы изогнутая поверхность также была минимальна. Для формулировки соответствующего необходимого условия нам понадобятся коэффициенты возмущенной второй квадратичной формы $\tilde b_{\mu \nu } : = {\mathbf{\tilde y}}_{,\mu \nu }  \cdot {\mathbf{\tilde e}}$. Имея таковые, искомое условие запишем в виде $\tilde b_\alpha ^\alpha   = g^{\mu \nu } \tilde b_{\mu \nu } = 0 + ...$

Общий вид возмущённой нормали ${\mathbf{\tilde e}} = {\mathbf{e}} + \lambda ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha }  + \zeta ~ {\mathbf{e}}$ после удовлетворения условиям$$\left\{ {\begin{array}{lcl}
   {{\mathbf{\tilde e}} \cdot {\mathbf{\tilde e}} &=& 1}  \\
   {{\mathbf{\tilde e}} \cdot {\mathbf{\tilde y}}_{,\mu }  &=& 0}  \\
 \end{array} } \right.$$конкретизируется до$${\mathbf{\tilde e}} = {\mathbf{e}} - B^\alpha  ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha }  + ...$$Вычисление вторых производных возмущенного радиус-вектора приводит к$${\mathbf{\tilde y}}_{,\mu \nu}  = {\mathbf{y}}_{,\mu \nu}  + C_{\mu \nu} ^\alpha ~ {\mathbf{y}}_{,\alpha }  + D_{\mu \nu}  ~ {\mathbf{e}}$$где$$\left| {\begin{array}{rcl}
   {C_{\mu \nu} ^\alpha  &: =& A_{\mu ; \nu} ^\alpha  + \Gamma _{\mu \nu }^\beta  A_\beta ^\alpha   - B_\mu  b_\nu ^\alpha  \\
   {D_{\mu \nu}  &: =& A_\mu ^\alpha  ~ b_{\alpha \nu }  + B_{\mu ;\nu }  + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha  B_\alpha  \\
 \end{array} } \right.$$Условие минимальности принимает вид $g^{\mu \nu } \left( {D_{\mu \nu }  - \Gamma _{\mu \nu }^\alpha  B_\alpha  } \right) = 0$ или, после всех подстановок, $$\phi ^{;\alpha } _{;\alpha }  + \phi ~ b_\beta ^\alpha  b_\alpha ^\beta   = 0$$Что (внезапно!) оказывается возможным выразить в терминах одной только внутренней геометрии поверхности$$\fbox{\phi ^{;\alpha } _{;\alpha }  = R ~ \phi} \eqno (5)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение15.02.2020, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Проверим формулы на указанном Slav-27 преобразовании катеноида в геликоид:
$${\mathbf{y}} = \cos \theta \left( {\begin{array}{сcс}
   {\ch r~\cos \varphi }  \\
   {\ch r~\sin \varphi }  \\
   r  \\

 \end{array} } \right) + \sin \theta \left( {\begin{array}{сcс}
   {\sh r~\sin \varphi }  \\
   { - \sh r~\cos \varphi }  \\
   \varphi   \\

 \end{array} } \right)$$Вычисляя след второй фундаментальной формы, можно убедиться что данная поверхность минимальна при любом значении $\theta$. При $\theta=0$ имеем катеноид, при $\theta=\pi /2$ - геликоид.

Будем считать катеноид базовой поверхностью. Тогда формулы $(4,5)$ примут вид$$\left\{ {\begin{array}{rcl}
   {\dfrac{{\partial ^2 \phi }}
{{\partial r^2 }} + \dfrac{{\partial ^2 \phi }}
{{\partial \varphi ^2 }} + \dfrac{{2\phi }}
{{\ch ^2 r}} = 0}  \\
   {\phi  = \dfrac{{\partial \xi _1 }}
{{\partial r}} - \th r~\xi _1 }  \\
   { - \phi  = \dfrac{{\partial \xi _2 }}
{{\partial \varphi }} + \th r~\xi _1 }  \\
   {0 = \dfrac{{\partial \xi _1 }}
{{\partial \varphi }} + \dfrac{{\partial \xi _2 }}
{{\partial r}} - 2\th r~\xi _2 }  \\

 \end{array} } \right. \eqno (6)$$Разложим $\mathbf{y}$ по степеням $\theta$ и обозначим $\delta {\mathbf{y}}$ вектор при первой степени $\theta$. Понимая его как возмущение базовой поверхности, находим
$$\phi : = \delta {\mathbf{y}} \cdot {\mathbf{e}} =  - \varphi ~\th r \qquad \xi _1 : = \delta {\mathbf{y}} \cdot {\mathbf{y}}_{,1}  = \varphi  \qquad \xi _2 : = \delta {\mathbf{y}} \cdot {\mathbf{y}}_{,2}  =  - \sh r~\ch r  \eqno (7)$$где$$\[
{\mathbf{e}} := \frac{1}
{{\ch r}}\left( {\begin{array}{rcl}
   {\cos \varphi }  \\
   {\sin \varphi }  \\
   { - \sh r}  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$Постановка $(7)$ в $(6)$ даёт тождество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение19.02.2020, 03:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Прежде чем искать общие решения уравнений $(6)$ полезно перечислить их "тривиальные" решения, соответствующие "твердотельным" сдвигам и поворотам поверхности. Так, трансляциям$$\[
\delta {\mathbf{y}} = \left( {\begin{array}{ccc}
   1  \\
   0  \\
   0  \\

 \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc}
   0  \\
   1  \\
   0  \\

 \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc}
   0  \\
   0  \\
   1  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$соответствуют решения$$\[
\begin{array}{ccc}
   \phi  & {\xi _1 } & {\xi _2 }  \\
   {\cos \varphi /\operatorname{ch} r} & {\operatorname{sh} r\cos \varphi } & { - \operatorname{ch} r\sin \varphi }  \\
   {\sin \varphi /\operatorname{ch} r} & {\operatorname{sh} r\sin \varphi } & {\operatorname{ch} r\cos \varphi }  \\
   { - \operatorname{th} r} & 1 & 0  \\

 \end{array} 
\]
$$А повоторам$$\[
\delta {\mathbf{y}} = \left( {\begin{array}{ccc}
   0  \\
   { - r}  \\
   {\operatorname{ch} r~\cos \varphi }  \\

 \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc}
   r  \\
   0  \\
   { - \operatorname{ch} r~\cos \varphi }  \\

 \end{array} } \right), \quad \left( {\begin{array}{ccc}
   { - \operatorname{ch} r~\sin \varphi }  \\
   {\operatorname{ch} r~\cos \varphi }  \\
   0  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$решения$$\[
\begin{array}{ccc}
   \phi  & {\xi _1 } & {\xi _2 }  \\
   { - (r/\operatorname{ch} r + \operatorname{sh} r)\sin \varphi } & {(\operatorname{ch} r - r\operatorname{sh} r)\sin \varphi } & { - r\operatorname{ch} r\cos \varphi }  \\
   {(r/\operatorname{ch} r + \operatorname{sh} r)\cos \varphi } & { - (\operatorname{ch} r - r\operatorname{sh} r)\cos \varphi } & { - r\operatorname{ch} r\sin \varphi }  \\
   0 & 0 & {\operatorname{ch} ^2 r}  \\

 \end{array} 
\]
$$Отсюда видно, что ограничение только ограниченными решениями было бы слишком ограничительным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение14.03.2020, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Не совсем понятно, как двигаться дальше.

Возмущённые поверхности, целиком попадающие в некоторую окрестность фоновой исследуются относительно легко. Но возникает вопрос: насколько корректно связывать "твердотельно расходящееся" решение линеаризованного уравнения с действительно твердотельно-растянутым новым точным решением. Если так можно поступать, то это упрощает.

Медитирую пока над идеей разорвать фон на куски и точно их посдвигать с проворотами. Получившийся таким образом новый фон можно снова возмутить.

Наверное, для начала, стоило бы найти хотя бы одно точное решение такого "растянутого" вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изгибание минимальной поверхности
Сообщение19.03.2020, 20:36 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Сдаётся мне, что ответ "вообще говоря нет".

Теорема. Пусть $M$ связное $n$-мерное ориентируемое риманово многообразие, и пусть задано его изометрическое погружение в евклидово пространство $\mathbb E^{n+1}$. Если в каждой точке $M$ среди $n$ главных кривизн есть 3 ненулевые попарно различные, то любое другое изометрическое погружение отличается от данного на движение $\mathbb E^{n+1}$.

Это теорема Беца (Beez) и Киллинга, в основном из 19 века. Смотрите: Кобаяси, Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Том 2, глава 7, следствие 6.5.

Вы знаете минимальную гиперповерхность в евклидовом пространстве, у которой хотя бы в одной точке хотя бы 3 главные кривизны попарно различные и ненулевые? Если такая бывает, то около этой точки она не гнётся (только двигается). Я такую не знаю, но с чего бы их не было.

-- 19.03.2020, 21:48 --

То есть вообще не гнётся, даже если не требовать сохранения минимальности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group