Потенциальная энергия математического маятника

[Norma]

На одном сайте нашел не совсем понятный вывод потенциальной энергии математического маятника.
Уравнение движения:
$\ddot{\varphi}+\frac{g}{r}\sin(\varphi)=0$
После интегрирования получаем соотношение:
$\frac{1}{2}(\dot{\varphi})^2-\frac{g}{r}\cos(\varphi)=\operatorname{const}$
Потом говорится, что
$-\frac{g}{r}\cos(\varphi)$ -потенциальная энергия мат. маятника.

Но разве это так? Во-первых, в формуле потенциальной энергии должна присутствовать масса(правда, можно считать, что она единичная). Во-вторых, не понятно, как это вообще следует из интегрирования уравнения движения. Это только очевидным образом следует из закона сохранения энергии

[DimaM]

Norma в сообщении #1436514 писал(а):

Во-первых, в формуле потенциальной энергии должна присутствовать масса(правда, можно считать, что она единичная).

В формуле кинетической энергии должна присутствовать та же масса, что каГБЕ намекает.

Norma в сообщении #1436514 писал(а):

Во-вторых, не понятно, как это вообще следует из интегрирования уравнения движения. Это только очевидным образом следует из закона сохранения энергии

Так энергия - это как раз первый интеграл уравнения движения. Формально - умножаем первое уравнение на $\dot{\varphi}$ и после интегрирования получаем как раз второе.

[realeugene]

Norma в сообщении #1436514 писал(а):

Но разве это так?

С точностью до константы.

[Norma]

DimaM

Цитата:

Так энергия - это как раз первый интеграл уравнения движения.

Я же правильно понимаю, что это верно только тогда, когда энергия сохраняется? И как можно из простого интегрирования понять, где потенциальная энергия, а где кинетическая?

[Pphantom]

Norma в сообщении #1436538 писал(а):

И как можно из простого интегрирования понять, где потенциальная энергия, а где кинетическая?

В получившемся интеграле энергии есть часть, зависящая только от обобщенных координат (в данном частном случае - от угла), и другая часть, зависящая только от обобщенных скоростей (сиречь производной угла по времени). Первая - потенциальная, вторая - кинетическая.

[Munin]

1. Почему в формуле нет массы? Потому что здесь не идёт речь о физической энергии, которая измеряется в джоулях (Дж, J). Здесь речь идёт о математической задаче, которая аналогична типичной физической. (Такая постановка задачи рассматривается в теоретической физике, в частности в теоретической механике.) Математикам плевать на какие-то коэффициенты (и даже на физические размерности), их интересует другой вопрос: что называть энергией в некоторой абстрактной математической конструкции. Их ответ: некую сохраняющуюся величину (возникающую за счёт инвариантности задачи относительно сдвигов по времени). Такие сохраняющиеся величины в дифференциальных уравнениях определённого типа называют интегралами движения. Энергия - один из интегралов движения. Её размерность в итоге может оказаться любой, хоть в радианах.

С другой стороны, какой-то абстрактной математической конструкции - никакой физический закон сохранения энергии не писан. Поэтому апеллировать к нему нельзя.

2. Почему одно слагаемое назвали кинетической энергией, а другое - потенциальной? Это чистая условность. На самом деле, как математики выясняют, сохраняется именно суммарная величина $\tfrac{1}{2}\dot{\varphi}^2-\frac{g}{r}\cos\varphi.$ И на этом конец разговора. Но часто (в дифференциальных уравнениях теоретической механики, и в аналогичных им уравнениях других разделов теоретической физики) оказывается, что такая величина раскладывается на два слагаемых: $E(\varphi,\dot{\varphi})=E_1(\dot{\varphi})+E_2(\varphi).$ Вот ровно в таких ситуациях условились называть первое слагаемое кинетической энергией, а второе - потенциальной. Очевидно, такое бывает не всегда (и даже в физике!). И очевидно, что тут есть некая свобода разбиения на слагаемые, например, свободная константа (принято полагать $E_1(0)=0$). Но когда можно, тогда так и делают.

Если так не получается, то разбивают на слагаемые так: $E(\varphi,\dot{\varphi})=E_1(\dot{\varphi})+E_2(\varphi,\dot{\varphi}).$ Это ещё более условно... Тут стараются в $E_1(\dot{\varphi})$ вынести квадратичную по скоростям часть, а в $E_2(\varphi,\dot{\varphi})$ - линейную по скоростям.

-- 23.01.2020 16:10:38 --

Привыкайте к теоретической физике.
Заодно хочу сказать, что теоретическая механика - фундамент и единый язык теоретической физики. Какой бы раздел теоретической физики ни взять - там всегда в глубине заложена какая-то модель, построенная в точности по образцу и подобию механической модели. Это ещё иначе формулируют так: вся современная теоретическая физика построена на понятии действия и Принципе наименьшего действия.
1. Разделы физики, которые основаны на теории поля (электродинамика, гравитация, теории сильных и слабых взаимодействий, теории элементарных частиц, теории сплошной среды, теории твёрдого тела и конденсированного состояния) используют механику, доведённую до предела бесконечности степеней свободы.
2. Разделы физики, основанные на статистической физике (термодинамика, кинетика, статистические задачи повсюду), сначала строят механическую систему, а потом её статистическое описание.
3. Квантовые разделы физики сначала строят классическую механическую систему, а потом проводят с ней математическую операцию квантования (довольно непростую по своей сути). Получившаяся квантовая система часть свойств наследует от своей классической основы, а часть - получает новые.
Многие разделы физики основаны на сочетании этих идей.