Задача по теории колебаний

[Dr Blue]

Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического напряжения, частоту которого можно менять, не изменяя его амплитуды. При частотах $\rho_1$ и $\rho_2$ амплитуды тока оказались в $\eta$ раз меньше резонансной амплитуды. Найти резонансную частоту и добротность цепи.

В решении застопорился, нужна помощь.

Решение:
Схема:

Омическое сопротивление учитываем
$\varepsilon=\varepsilon_0 \cos\rho t$
$U_L+U_R+U_C=\varepsilon$ - 2-е правило Кирхгофа

$U_C=\frac{q}{C}$, $U_R=R\dot{q}$, $U_L=\dot{I}L=L\ddot{q}$

$L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=\varepsilon_0 \cos\rho t\left\lvert\times\frac{1}{L}$

$\ddot{q}+\frac{R}{L}\dot{q}+\frac{1}{LC}q=\frac{\varepsilon_0}{L} \cos\rho t$

$\frac{R}{L}=2b$, $\frac{1}{LC}=\omega_0^2$, $\frac{\varepsilon_0}{L}=f_0$

$\ddot{q}+2b\dot{q}+\omega_0^2q=f_0 \cos\rho t$

Перепишем уравнение на $x$:
$\ddot{x}+2b\dot{x}+\omega_0^2q=f_0 \cos\rho t$
$x=x_1+x_2$
$\ddot{x_1}+2b\dot{x_1}+\omega_0^2x=0, b<\omega_0$

Записываем характеристическое уравнение:
$\lambda^2+2b\lambda+\omega_0^2=0$
$\lambda_1_,_2=\frac{-2b\pm\sqrt{4b^2-\omega_0^2}}{2}=\frac{-2b\pm2\sqrt{b^2-\omega_0^2}}{2}=b\pm\sqrt{b^2-\omega_0^2}$
$\sqrt{b^2-\omega_0^2}=\sqrt{-(\omega_0^2-b^2)}=i\sqrt{\omega_0^2-b^2}=i\omega_1$
$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$
$\lambda_1_,_2=-b\pm i\omega_1$
$\lambda_2=\lambda_1^\ast
$x_1=B_1e^{\lambda_1t} + B_2e^{\lambda_2t}$

$e^{\lambda_2t}=(e^{\lambda_1 t})^\ast, B_2e^{\lambda_2t}=(B_1e^{\lambda_1t})^\ast$
$B_2=B_1^\ast$

вещественные const - $\left\{ \begin{array}{rcl} B_1=\frac{1}{2}Ae^{i\lambda} \\ B_2=\frac{1}{2}Ae^{-i\lambda} \\ \end{array} \right.$

$x_1=\frac{1}{2}Ae^{i\lambda}e^{(-b+i\omega_1)t}+\frac{1}{2}Ae^{-i\lambda}e^{(-b-i\omega_1)t=}$
$=\frac{1}{2}Ae^{-bt}{(e^{i(\omega_1t+\alpha)}+e^{-i(\omega_1t+\alpha)})}=$
$=Ae^{-bt}\cos(\omega_1t+\alpha)$
$x_1=Ae^{-bt}\cos(\omega_1t+\alpha)$
$t$\to$$\infty, x_1$\to$\infty$
$x=x_2$

Используем метод комплексных амплитуд:
$\ddot{y}+2b\dot{y}+\omega_0^2y=f_0e^{ipt}$
$e^{ipt}=\cos(pt)+i\sin(pt), \operatorname{Re}(e^{ipt})=\cos(pt)$
$\operatorname{Re}(y)=x$
$y=Xe^{ipt}$, $X$ - комплексная амплитуда
$\dot{y}=ipXe^{ipt}$
$\ddot{y}=(ip)^2Xe^{ipt}=-p^2 Xe^{ipt}$
$(-p^2+2ibp+\omega_0^2)Xe^{ipt}=f_0e^{ipt}$

$(-p^2+2ibp+\omega_0^2)X=f_0$
$X=\frac{f_0}{(\omega_0^2-p^2+2ibp)},$ $X=X_0}{e^{i\varphi}}$

$y=X_0e^{i(pt-\varphi)}$
$X_0$- модуль $X$
$\varphi$ - аргумент
$x=\operatorname{Re}(y)=X_0\operatorname{Re}\left\lbrace e^{i(pt-\varphi}\right\rbrace$
$x=X_0\cos(pt-\varphi)$
$X_0$ - амплитуда вынужденных колебаний
$\varphi$ - сдвиг фаз
$X_0=\frac{f_0}{\sqrt{{(\omega_0^2-p^2)}^2}+4b^2p^2}$

Смог дойти до этого. Возник вопрос, как находится резонансная частота, что дальше сделать, чтобы прийти к ответу?
Ответ:
Q=\sqrt{\frac{(n^2-1)\rho_1 \rho_2}{(\rho_1-\rho_2)^2} - \frac{1}{4}}$

[Mihr]

Вы получили выражение для комплексной амплитуды вынужденных колебаний. Получите теперь выражение для вещественной амплитуды и используйте условие

Dr Blue в сообщении #1434536 писал(а):

При частотах $\rho_1$ и $\rho_2$ амплитуды тока оказались в $\eta$ раз меньше резонансной амплитуды.

Именно, воспользуйтесь тем, что при двух указанных частотах вещественная амплитуда вынужденных колебаний оказывается одинаковой: составьте уравнение на основании данного факта и решите это уравнение.

[Dr Blue]

Mihr в сообщении #1434553 писал(а):

Получите теперь выражение для вещественной амплитуды и используйте условие

Затрудняюсь, такого не делали, не знаю, как получить. Можете натолкнуть хоть маленько?)

[Mihr]

Вещественная амплитуда - это абсолютная величина комплексной амплитуды.

[Dr Blue]

Получается, что $X_0$ это и есть модуль $X$

[Mihr]

Если только правильно написать подкоренное выражение, то да. Всё выражение в знаменателе должно быть под корнем.
Теперь составляйте уравнение, исходя из равенства двух амплитуд.

-- 11.01.2020, 18:26 --

Dr Blue, что-то не получается? Не помните, как написать выражение для амплитуды тока, исходя из амплитуды заряда конденсатора? Или просто не понимаете, как составить уравнение по тексту задачи?

[Dr Blue]

Mihr в сообщении #1434582 писал(а):

Теперь составляйте уравнение, исходя из равенства двух амплитуд.

$X_{01}-X_{02}=0$
$X_{01}=X_{02}$

$X_{01}=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-p_1^2)^2+ 4b^2p_1^2}}$
$X_{02}=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-p_2^2)^2 +4b^2p_2^2}}$

$\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-p_1^2)^2+ 4b^2p_1^2}}=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-p_2^2)^2 +4b^2p_2^2}}$
Так как числители равны, приравниваем знаменатели, и извлекаем корень:
$\sqrt{ }=\sqrt{ }$
$(\omega_0^2-p_1^2)^2 +4b^2p_1^2=(\omega_0^2-p_2^2)^2 +4b^2p_2^2$

$\omega_0^4-2\omega_0^2 p_1^2+p_1^4+4b^2p_1^2=\omega_0^4-2\omega_0^2p_2^2+p_2^4+4b^2p_2^2$

$-2\omega_0^2 p_1^2+p_1^4+4b^2p_1^2+2\omega_0^2p_2^2-p_2^4-4b^2p_2^2=0$

$p_1^4-p_2^4+4b^2p_1^2-4b^2p_2^2-2\omega_0^2p_1^2+2\omega_0^2p_2^2=0$

$(p_1^4-p_2^4)+4b^2(p_1^2-p_2^2)+2\omega_0^2(p_2^2-p_1^2)=0$

$(p_1^4-p_2^4)+4b^2(p_1^2-p_2^2)-2\omega_0^2(p_1^2-p_2^2)=0$

$/:(p_1^2-p_2^2)$

$\frac{p_1^4-p_2^4}{p_1^2-p_2^2}+4b^2-2\omega_0^2=0$

-- 11.01.2020, 22:00 --

Я не понимаю, как связаны формула для амплитуды с добротностью.

[Mihr]

В последнем равенстве дробь вполне можно было бы сократить, и что-то отсюда получить, однако суть не в этом. К сожалению, Вы решили немного другую задачу. Ваше решение было бы безупречным, если бы было сказано, что при двух частотах равны амплитуды заряда конденсатора. Но в Вашей задаче сказано

Dr Blue в сообщении #1434536 писал(а):

При частотах $\rho_1$ и $\rho_2$ амплитуды тока оказались в $\eta$ раз меньше резонансной амплитуды.

(выделено мною).
Чтобы перейти от амплитуды заряда к амплитуде тока добавьте в числитель дроби множитель $\rho$ (так у Вас обозначена частота колебаний) и решите вновь полученное уравнение. Не обязательно полностью расписывать каждый шаг решения: теперь уже достаточно написать исходное уравнение и полученный результат. Если наши ответы не совпадут, тогда уже будем разбираться более детально.

-- 11.01.2020, 19:03 --

С добротностью разберёмся чуть позже. Давайте для начала получим ответ на первый вопрос.

[Dr Blue]

Mihr в сообщении #1434592 писал(а):

С добротностью разберёмся чуть позже. Давайте для начала получим ответ на первый вопрос.

Видимо поздний вечер сказывается, не понимаю, как и что..
Завтра сделаю - отвечу.
Спасибо за помощь!

[AnatolyBa]

Dr Blue
Извините, не могу молчать. Зачем так безумно сложно?
Можно, конечно и так, но зачем? Вас заставляют?
Вы изучали комплексные сопротивления (импедансы), векторные диаграммы, закон Ома для переменного тока?
Должны были, если вам дают задачи, где употребляется термин добротность.

[Dr Blue]

AnatolyBa в сообщении #1434653 писал(а):

Dr Blue
Зачем так безумно сложно?
Можно, конечно и так, но зачем? Вас заставляют?

Можно и так сказать.
Просто у преподавателя есть требования, как надо делать, и ни шагу в сторону. Добротность давали, но здесь я немного загрузился, и попал в тупик. Пытаюсь разобраться. От безысходности спросил, чтоб узнать, что как и почему, и как делать дальше.

-- 12.01.2020, 11:56 --

Mihr

$\rho_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

$I_m=\frac{V_m}{R},$ $Z_0=\sqrt{R^2+(\rho L-\frac{1}{\rho C})^2}$
Так как амплитуда тока в n раз меньше резонансной амплитуды, то:
$\frac{V_m}{nR}=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+(\rho_1 L-\frac{1}{\rho_1 C})^2}}=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+(\rho_{2} L-\frac{1}{\rho_{2} C})^2}}$
$nR=\sqrt{R^2+(\rho_1 L-\frac{1}{\rho_1 C})^2}$
$n^2R^2=R^2+(\rho_1 L-\frac{1}{\rho_1 C})^2$
$n^2R^2-R^2=(\rho_1 L-\frac{1}{\rho_1 C})^2$
$(\rho_1 L-\frac{1}{\rho_1 C})^2=R^2(n^2-1)$
$\rho_1 L-\frac{1}{\rho_1 C}=\sqrt{R^2(n^2-1)}=R\sqrt{n^2-1}$

[DimaM]

Dr Blue
Полезно заметить, что при этих двух частотах модуль импеданса будет одинаковым, равно как и квадрат модуля. Отсюда сразу находится резонансная частота.
Далее можно заметить, что на заданных частотах модуль импеданса в $n$ раз больше резонансного имеданса (который равен чему?).
И обозначьте, пожалуйста, одинаковые величины одинаковыми буквами.

[AnatolyBa]

Добротность - в конце подставите в формулу, когда у вас будет резонансная частота. Я просто пытаюсь понять, какой предмет вы учите.
Если физику, или там электротехнику, то так решать это издевательство.
Даже если преподаватель требует решать дифференциальное уравнение, я бы для начала решил простым правильным путем, получил бы ответ, а затем бы мучился с уравнением.
А простой правильный путь такой. Для начала надо записать комплексное сопротивление (импеданс) и найти условие резонанса, как условие минимальности его модуля, или как условие нулевой фазы. Далее - найти сопротивление в резонансе и отсюда модуль сопротивления на частотах $\rho_1$ $\rho_2$. Понять почему таких частот две, записать условие равенства модуля сопротивления для двух частот

[Mihr]

Dr Blue, что-то Вы пошли не туда. Вчера Вы были ближе к решению. Давайте немножко поправим Ваше вчерашнее решение. Я говорил вот о чём. Если заряд конденсатора меняется по закону $q=q_0\sin\omega t$, то ток через конденсатор (который есть производная заряда) будет $I=q_0\omega\cos\omega t$, так ведь? Значит, амплитуда тока равна $I_0=q_0\omega$. Вот поэтому я и предлагал домножить на частоту. Если пользоваться Вашими обозначениями, то Вам вместо уравнения

$\dfrac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\dfrac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_2^2)^2 +4b^2\rho_2^2}}$

нужно было решить уравнение

$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\dfrac{f_0\rho_2}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_2^2)^2 +4b^2\rho_2^2}}$

Конкретно, Вам нужно из этого уравнения выразить $\omega_0$ через $\rho_1$ и $\rho_2$ (которые считаются известными). Попробуйте это сделать. Уравнение решается, и результат здесь очень простой.

[Dr Blue]

Mihr
Получается, учитывая, что $f_0\ne0, \rho_1\ne\rho_2\ne0 $:

$\frac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+4b^2\rho_1^2}}=\frac{f_0\rho_2}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_2^2)^2+4b^2\rho_2^2}}$

$(\frac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+4b^2\rho_1^2}})^2=(\frac{f_0\rho_2}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_2^2)^2+4b^2\rho_2^2}})^2$

$f_0^2\rho_1^2((\omega_0^2-\rho_2^2)^2+4b^2\rho_2^2)=f_0^2\rho_2^2((\omega_0^2-\rho_1^2)^2+4b^2\rho_1^2)$

$\rho_1^2(\omega_0^2-\rho_2^2)^2=\rho_2^2(\omega_0^2-\rho_1^2)^2$

$\rho_1^2(\omega_0^4-2\omega_0^2 \rho_2^2+\rho_2^4)=\rho_2^2(\omega_0^4-2\omega_0^2 \rho_1^2+\rho_1^4)$

$\rho_1^2(\omega_0^4+\rho_2^4)=\rho_2^2(\omega_0^4+\rho_1^4)$

$\omega_0^4(\rho_1^2-\rho_2^2)=\rho_1^2\rho_2^2(\rho_1^2-\rho_2^2)$

$\omega_0=\pm\sqrt{\rho_1^2\rho_2^2}$