2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аксиома полноты
Сообщение09.09.2008, 02:04 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Будьте добры, проверьте доказательства (потом ещё четыре будут)

Принцип вложенных отрезков 1: Пусть дана последовательность отрезков $(I_n)$, такая, что $ I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \dots $. Тогда пересечение этих отрезков не пусто
$$ \bigcap_{n = 1}^{\infty} I_n \neq \emptyset $$

Аксиома полноты: Каждое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань

Принцип вложенных отрезков 2: Пусть верен "принцип вложенных отрезков 1" и длинна отрезка $I_n$ может быть сделана сколь угодно малой взятием достаточно большого $n$. Тогда пересечение этих отрезков содержит одну единственную точку $c$.

$$ \bigcap_{n = 1}^{\infty} I_n = \{c\} $$

Доказательство: От противного. Допустим пересечение содержит более одной точки. Выберем две из них $c_1$ и $c_2$. Но по определению мы можем найти отрезок $I_m$ длина которого меньше $ | c_2 - c_1 | $, Следовательно отрезов $I_m$ не содержит обе эти точки, а значит и пересечение любого числа отрезков с $I_m$ не будет содержать эти две точки одновременно. Противоречие.

Доказать, что из ПВО 1 следует АП: Пусть дано непустое множество $A$, ограниченное сверху, то есть для любого $a \in A$ верно $a < M$. Выберем из этого множества произвольный элемент $a$ и обозначим отрезок $[a; M]$ как $I_1$. Заметим, что $I_1 \cap A \neq \emptyset$. Разобъём напополам отрезок $I_n$, Нас интересуют отрезки имеющие непустое пересечение со множеством $A$. Берём самый правый из них и обозначаем его $I_2$. Разбиваем все последующие отрезки аналогично, получая последовательность вложенных отрезков с убывающими длинами. Обозначим общую точку этих отрезков за $c$. Докажем, что эта точка является точной верхней гранью множества $A$.

Допустим существует элемент $a \in A$, такой что $a > c$. (иными словами допустим что $c$ не является верхней гранью). Берём минимальный отрезок $I_m$, содержащий $a$ и $c$. Разобъём отрезок на двое. Точки $a$ и $c$ не могут оказаться на одной стороне от точки разбиения, иначе именно новый интервал был бы минимальным интервалом содержащим обе точки. Точка $a > c$ следовательно $a$ оказывается в правом интервале, и по построению точка $c$ оказывается непринадлежащей всем последующим интервалам $c \not \in I_{m + 1}, I_{m + 2}, \dots$. Противоречие.

Теперь допустим существует число $c_1$, такое, что не существует членов последовательности больше $c_1$ (иными словами допустим точка $c$ не является наименьшей верхней гранью). Берём минимальный отрезок $I_k$ содержащий и . Аналогично рассуждаем, что отрезки $I_{m + 1}, I_{m + 2}, \dots$ не могут содержать точку $c$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 04:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Сначала сформулируйте, что именно Вы понимаете под аксиомой полноты. Тут возможны разные варианты. А поскольку ещё и текст не очень аккуратен, понять ничего невозможно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 10:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
ewert писал(а):
Сначала сформулируйте, что именно Вы понимаете под аксиомой полноты. Тут возможны разные варианты. А поскольку ещё и текст не очень аккуратен, понять ничего невозможно.


Добавил определения, расписал доказательства поподробнее. Исправил пару ляпов.
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.09.2008, 23:08 
Аватара пользователя


02/07/07
163
Харьков
Вроде как вы собирались доказывать свойство полноты для любого ограниченного множества, а доказали только для ограниченной последовательности.
Для ограниченной сверху последовательности рассуждение правильное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 00:34 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Asalex писал(а):
Вроде как вы собирались доказывать свойство полноты для любого ограниченного множества, а доказали только для ограниченной последовательности.
Для ограниченной сверху последовательности рассуждение правильное.


Да, Вы правы, всё вкривь и вкось и неточно. Переписал всё заново. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Продолжу свой медленный путь
Сообщение12.09.2008, 20:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Теорема о монотонной сходимости: Любая неубывающая ограниченная сверху последовательность сходится

Доказать, что из ТМС следует ПВО 1: Рассмотрим семейство отрезков $I_n = [a_n; b_n]$. Последовательность нижних границ $(a_n)$ неубывает и ограничена сверху числом $b_1$, следовательно имеет предел, который мы обозначим $c$. Докажем, что $c$ принадлежит пересечению $\bigcap_{\infty} I_n$.

От обратного. Допустим, что $c$ не принадлежит пересечению $\bigcap_{\infty} I_n$. Тогда существует такое $m$, что $c \notin I_m, I_{m + 1}, \dots$. Обозначим $\epsilon = \min\bigl\{ |a_m - c|, [b_m - c]\bigr\}$. Заметим, что члены последовательности $a_m, a_{m+1}, \dots$ находятся вне $\epsilon$-окрестности точки $c$, следовательно $c$ не могла бы являться пределом последовательности $(a_n)$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Верное рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 21:00 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Больцано-Вейерштрасс: В каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказать, что из БВ следует ПВО 1: Аналогично предыдущему доказательству, рассмотрим последовательность нижних границ $(a_n)$, которая ограниченна снизу числом $a_1$ и сверху числом $b_1$. Выделим подпоследовательность с пределом $c$. Доказательство того, что $c$ принадлежит пересечению интервалов $\bigcap_{\infty} I_n$ идентично предыдущему.

Последнее доказательство

Критерий Коши: Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна

Используя КК доказать БВ: Рассмотрим ограниченную последовательность $(a_n)$, где для любого $n$ верно $|a_n| < M$. Возьмём отрезок $[-M; M]$ и выберем в нём какой-либо элемент $a_{n_1}$. Этот орезок содержит бесконечное количество элементов последовательности $(a_n)$. Разобъём отрезок $[-M; M]$ напополам. Как минимум одна из двух половинок будет содержать бесконечное число членов последовательности $(a_n)$. Выберем в нём элемент $a_{n_2}$ такой, что $n_2 > n_1$ (если бы этого нельзя было сделать это значило бы что отрезок содержит максимум $n_1$ членов последовательности $a_n$). Продолжим, построив последовательность $(a_{n_m})$.

Заметим, что для любых $i < j$ верно

$$\bigl| a_{n_i} - a_{n_j} \bigr| \le \frac{2 M}{2^i} $$

следовательно эта последовательность фундаментальна, а значит и сходится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
bubu gaga в сообщении #144129 писал(а):
Аналогично предыдущему доказательству, рассмотрим последовательность нижних границ $(b_n)$, которая ограниченна снизу числом $a_1$ и сверху числом $b_1$
Обознатушки - перепрятушки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 22:14 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Brukvalub писал(а):
Обознатушки - перепрятушки.


С самого начала перепутал грани, думал смогу и с этой нотацией не опечататься, но видимо "закон" по которому любое $a$ всегда меньше любого $b$ :) выше меня.

А в остальном терпимо?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
bubu gaga в сообщении #144129 писал(а):
Возьмём отрезок $[-M; M]$ и выберем в нём какой-либо элемент $a_{n_1}$. Этот орезок содержит бесконечное количество элементов последовательности $(a_n)$. Разобъём отрезок $[-M; M]$ напополам. Как минимум одна из двух половинок будет содержать бесконечное число членов последовательности $(a_n)$. Выберем в нём элемент $a_{n_2}$. Продолжим, построив последовательность $(a_{n_m})$.
У подпоследовательности индексированные номера ее членов в исходной последовательности должны возрастать. Как это отражается в Вашем построении?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.09.2008, 22:31 
Экс-модератор
Аватара пользователя


11/07/08
1169
Frankfurt
Brukvalub писал(а):
У подпоследовательности индексированные номера ее членов в исходной последовательности должны возрастать. Как это отражается в Вашем построении?


Никак не отражалось, поправил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group