2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Математическая паутина или паутическая математина?
Сообщение18.11.2019, 00:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Паук сплёл паутину, в каждый из 12 узлов которой попалась либо одна Катенька, либо одна Некатенька, причём каждая девочка оказалась соединена отрезком паутины ровно с двумя Катеньками.

Найдите все возможные способы, которыми это могло быть сделано.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая паутина или паутическая математина?
Сообщение18.11.2019, 01:52 


02/05/19
396
Всего два способа. Кажется, я могу это показать.
UpD.
Никакие два узла одного кольца паутины, расположенные "через один" не могут одновременно заключать в себе Некатенек; следовательно, таких узлов в каждом кольце либо два, либо всего один. Последний вариант неосуществим. Остаётся рассмотреть случаи, когда в каждом кольце ровно два таких узла... Эти два узла должны быть расположены либо непосредственно по соседству (и так в каждом кольце), либо лежать на диагонали паутины...

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая паутина или паутическая математина?
Сообщение18.11.2019, 01:58 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Connector в сообщении #1426504 писал(а):
Всего два способа. Кажется, я могу это показать.

Если Вас не затруднит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая паутина или паутическая математина?
Сообщение18.11.2019, 03:05 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
У меня тоже два (с точностью до симметрий) получилось: $(NKKNKK,NKKNKK)$ и $(KKNNKK,NKKKKN)$; развернул для наглядности вложенные шестиугольники в "лесенку" с попарно соединенными противоположными концами и рассмотрел три варианта на одном из концов - $NN,NK,KK$; в варианте $NN$ все форсировано, вариант $NK$ дает два подварианта (достаточно поставить еще одну букву рядом с концом лесенки - $N$ или $K$, и тоже все схлопывается), которые на самом деле переходят друг в друга вращением; любые варианты с $KK$ совпадают с одним из ранее расмотренных

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая паутина или паутическая математина?
Сообщение18.11.2019, 12:18 


02/04/18
240
Пронумеруем все узлы и запишем под каждым номером всех соседок его обитательницы. Понятно, что в этом списке 24 раза будут упомянуты Катеньки, 12 раз - Некатеньки. Поскольку каждая девочка является соседкой ровно у трех, то она трижды появляется в списке. То есть в паутину попались 8 Катенек и 4 Некатеньки.

Рассмотрим внешнее кольцо паутины. Пусть какая-то Некатенька находится в восточном узле. Тогда в северо-западном и юго-западном узлах этого же кольца обязаны быть Катеньки (иначе у северо- и юго-восточного узлов не более одной соседки-Катеньки).
Из этого следует, что, если в этом кольце есть еще одна Некатенька, то она расположена либо напротив (и, по тем же причинам, рядом с первой Некатенькой находятся две Катеньки), либо в одном из соседних узлов, тогда остальные - только Катеньки.

Отсюда следует вывод: в одном кольце может быть не более двух Некатенек, а всего в паутине - не более 4. Но их как раз 4! Следовательно, в каждом кольце ровно две Некатеньки, и имеют место две конфигурации: ННКККК и НККНКК.
В первом случае видно, что Катеньки на 4 и 5-й позициях уже заполучили в соседки по две Катеньки, значит, их соседками в другом кольце будут Некатеньки, то есть конфигурация повторится с точностью до поворота на 180 градусов: ННКККК-КККННК. Если считать, что конфигурации, переходящие друг в друга поворотом, считаются различными, то это 6 способов.
Во втором аналогично: каждая из Некатенек уже соседствует с двумя Катеньками, так что им недостает соседок-Некатенек, и второе кольцо получается точной копией первого: НККНКК-НККНКК. Здесь, в свою очередь, получается 3 способа.

Ответ: 2 либо 9 (смотря как считать).

Интересно, что если заменить в условии "две Катеньки" на "по крайней мере, две", тогда (в случае, если мы различаем конфигурации максимально) получится ровно 100 способов.

(Оффтоп)

Пусть внутреннее кольцо - ННКККК (в одной из 6 конфигураций). Тогда у узлов КННК известны по две соседки, во всех случаях это К и Н, значит, во внешнем кольце им соотвествуют обязательно КККК. Остается два узла, которые можно заполнить произвольно, одним из 4 способов. Всего 6х4, т.е. 24 способа. Аналогично для внешнего кольца, но в сумме будет 42, потому что шесть вариантов пересекаются.
Пусть теперь внутренее - НККНКК (в одной из 3 конфигураций). Аналогично, у каждой К известны соседки К и Н, значит, во внешнем кольце заполнены четыре К. Остаются два внешних узла, которые так же заполняются 4 различными способами. Всего - 12, плюс внешнее кольцо, итого 21.
Итак, если в хотя б одном кольце две Некатеньки, паутина заполнена 63 различными способами.

Пусть только две Некатеньки, но по одной в каждом кольце. Первая пусть находится в одном из 6 внешних узлов. Тогда для второй есть запретные узлы, значит - всего 24 способа.
Наконец, если у нас только одна Некатенька, ее мы можем поместить в один из 12 узлов.
Выходит, что если в паутину попалась хотя бы одна Некатенька, то для выполнения требуемого условия расположиться они могли 99 способами.

Наконец, если там только Катеньки, это дает нам сотый способ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая паутина или паутическая математина?
Сообщение18.11.2019, 12:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Connector
waxtep
Dendr
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group