Какой геометрический смысл у матриц каждого типа?

[koniganadyr]

Пожалуйста, объясните геометрический смысл (представление) матриц любого типа - их графические изображения, взаимосвязи с измерением.
Решил с этим вопросом обратиться к Вам, ибо об этом в известных хрестоматиях по линейной алгебре (Беклемишев, Тыртышников, Курош, Кострикин) - ни слова, ни наглядных графиков.
Прежде всего волнует ортогональная матрица. Если это касается других типов матриц, то, пожалуйста, поделитесь информацией. Спасибо.

[Brukvalub]

У матриц нет наглядных графиков. И ненаглядных тоже нет.

[arseniiv]

koniganadyr в сообщении #1424771 писал(а):

матриц любого типа

Лучше спросите поконкретнее. Много разных видов матриц выделяют, иногда для весьма несвязанных целей.

koniganadyr в сообщении #1424771 писал(а):

взаимосвязи с измерением

Это тоже можно понять по-всякому — что имелось в виду?

А вообще многие матрицы (но не все) — это наборы координат тензоров из тензорного произведения каких-нибудь двух пространств $U\otimes V$ (линейные отображения и операторы, билинейные формы — частные случаи или почти частные случаи; квадратичная форма связана через полярную ей билинейную). У этого всего добра есть геометрический смысл, но нет какого-то общего для всех «графического изображения» (которое бы имело ещё и пользу), хотя для частных случаев можно действительно рисовать штуки — например линии уровня (хотя бы даже лишь нулевого) квадратичной формы, и они действительно дадут какую-то пользу.

[Sicker]

koniganadyr
Квадратную матрицу можно представить как $n$-мерный параллелограмм, построенный на векторах ее столбцов. Тогда умножение матриц это просто построение второго параллелограмма на векторах первого (как если бы они были единичными ортами), определитель это $n$-мерный объем такого параллелограмма и т.д.
А у ортогональной матрицы просто все эти вектора-столбцы будут перпендикулярны

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1424780 писал(а):

определитель это $n$-мерный объем такого параллелограмма и т.д.

Не зря в народе говорят, что "простота хуже воровства".

[Dementor]

(Оффтоп)

Матрица - способ группировки мат. объектов. Как можно интерпретировать способ? У числа может быть интерпретация, а у цифры вряд ли.

[SomePupil]

Brukvalub в сообщении #1424783 писал(а):

:facepalm: Не зря в народе говорят, что "простота хуже воровства".

Что не так в высказывании Sicker? Возможно, "параллелограммы" надо заменить на "параллелепипеды", но он всего лишь лаконично выразил мысль: "определитель - полилинейная кососимметричная функция от $n$ векторов с нормировкой, чтобы единичный куб имел единичный объем".

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1424789 писал(а):

Что не так в высказывании Sicker?

Еще один "специалист" по кратким формулировкам...

SomePupil в сообщении #1424789 писал(а):

"определитель - полилинейная кососимметричная функция от $n$ векторов с нормировкой, чтобы единичный куб имел единичный объем".

1. Правильная формулировка одного из возможных определений определителя: "определитель -такая полилинейная кососимметричная функция от строк (столбцов) КВАДРАТНОЙ матрицы, что она равна 1 на единичной матрице ". Если набрать кучку векторов , то никакого определителя из них не составить.
2. Объем не бывает отрицательным, а определитель - бывает.
3.Чтобы голворить об объемах, нужно предварительно договориться о мероизмерении, для изучения определителей никакие мероизмерения не нужны.
Этого хватит, или мне продолжать?

[SomePupil]

Brukvalub в сообщении #1424794 писал(а):

Этого хватит, или мне продолжать?

Вполне хватит, по мне) Уж всяко информативнее, чем процитированная вами народная мудрость.

[Sicker]

Brukvalub в сообщении #1424794 писал(а):

Объем не бывает отрицательным, а определитель - бывает.

Про ориентированный объем не слышали?

Brukvalub в сообщении #1424794 писал(а):

Чтобы голворить об объемах, нужно предварительно договориться о мероизмерении, для изучения определителей никакие мероизмерения не нужны.

Я лишь решил изложить наиболее интуитивное начальное введение в определитель, где понятие объема у человека есть в подкорке безо всяких там формальных определений

[koniganadyr]

Всем спасибо за понимание вопроса и помощь.
Пожалуйста, по возможности, предоставьте какие-нибудь источники, которыми Вы все руководствуетесь в Ваших ответах.
Ещё раз большое Вам спасибо за подключение к моей теме.

[Brukvalub]

Sicker в сообщении #1424809 писал(а):

Про ориентированный объем не слышали?

Укажите, где в вашем "интуитивном введении" упомянуто слово "ориентированный"?

Sicker в сообщении #1424809 писал(а):

Я лишь решил изложить наиболее интуитивное начальное введение в определитель, где понятие объема у человека есть в подкорке безо всяких там формальных определений

Разве ТС спрашивал что-либо про определитель? Или он спрашивал исключительно о матрицах (не обязательно квадратных) и об "их графиках"?

[Sicker]

Brukvalub в сообщении #1424812 писал(а):

Укажите, где в вашем "интуитивном введении" упомянуто слово "ориентированный"?

Да, забыл уточнить

Brukvalub в сообщении #1424812 писал(а):

Разве ТС спрашивал что-либо про определитель? Или он спрашивал исключительно о матрицах (не обязательно квадратных) и об "их графиках"?

Он спрашивал о графическом представлении матриц, в частности об ортогональных матрицах. Я ему и дал что он хочет, а определитель был просто как вещь по теме

[arseniiv]

Sicker
Определитель — (ориентированный) объём, только при специальных условиях. Вообще это коэффициент изменения (ор.) объёма. Вы сейчас неинвариантное понятие человеку подсунули, не упомянув базис, а он и верит. Аккуратные объяснения так не делаются, у него одна путаница заменится на другую.

-- Сб ноя 09, 2019 19:05:24 --

Sicker в сообщении #1424814 писал(а):

Я ему и дал что он хочет

А где вы видели ортогональную матрицу сферическую в вакууме? Как правило это матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе, и стоит лишь нам выбрать другой базис, изменившаяся матрица будет иметь столбцы, являющиеся координатами других векторов.

(И ещё по поводу ерундовых ответов)

Dementor в сообщении #1424787 писал(а):

Матрица - способ группировки мат. объектов. Как можно интерпретировать способ?

Это не просто способ. Это способ с конкретными применениями.

koniganadyr в сообщении #1424771 писал(а):

Прежде всего волнует ортогональная матрица.

Да, теперь можно к этому перейти, я как-то вчера не увидел. Выше написано, как такая матрица связана с некоторым ортогональным оператором. Ортогональный оператор — это такой обратимый линейный оператор $A$, для которого верно $(Au, v) = (u, A^{-1}v)$, где $(u, v)$ — скалярное произведение (которое должно быть на пространстве задано заранее; не на всяком пространстве оно есть, и для таких лучше про ортогональные матрицы не говорить вовсе). Из этого можно вывести, что ортогональные операторы — это ровно те, которые сохраняют евклидову норму вектора. В частности отражения (относительно гиперплоскостей) и повороты. Вот это всё и есть геометрический смысл такого оператора (и такой матрицы); если рассматривать не линейное евклидово, а точечное евклидово пространство, там это в точности движения этой плоскости с некоторой выбранной неподвижной точкой (в линейном пространстве это 0).

Определения можно смотреть например в Кострикине, «Основы алгебры, том 2: Линейная алгебра»; гл. 3 §3 п. 2 (определение 3). Правда, потребуется почитать немало текста выше по течению, ну тут по-другому никак. Даже если знать все упоминающиеся в этом определении другие, без примеров и полезных следствий в голове мало что скорее всего сложится. В частности оттуда можно будет понять, при чём тут будет в определении ортогональной матрицы её транспонирование.

[arseniiv]

Не для ТС, а для тех, кто интересуется ангелами, танцующими на кончике иглы, и возможно следил за моими постами на тему того, откуда берутся вообще все матрицы (на всякий случай: на мой предвзятый взгляд):

(Оффтоп)

Правильнее в очередной раз исправить моё утверждение о матрицах. Теперь они появляются не для тензорных произведений $U\otimes V$, а в полуаддитивных категориях (о чём есть даже в nLab (или вот более конкретно, но первое лучше глянуть первее)).

На передумывание (и чтение про эти категории) сподвигли матрицы отношений, которые можно, но не очень удобно понимать как матрицы линейных отображений между неким уж очень хитрым обобщением модулей (требуется, чтобы они были над полукольцом, и требуется только ради матриц отношений). Вместо этого мы берём категорию со всеми конечными произведениями и суммами, которые при этом совпадают: как категория отношений, так и категория конечномерных векторных пространств над каким-то полем или например абелевых колец — такие, и в результате морфизм $f\colon A_1\oplus\ldots\oplus A_n\to B_1\oplus\ldots\oplus B_m$ можно задать, задав $n\times m$ морфизмов $f_{ij}\colon A_i\to B_j$ (образующие некоторое обобщение матрицы); композиция морфизмов породит обычное умножение матриц. В такой категории появляется и сложение морфизмов — для отношений это будет объединение двух отношений между одной и той же парой множеств; такое сложение даст складывать и матрицы (и для матриц отношений это будет поэлементная дизъюнкция — всё как требует их практическое использование).

Кронекеровское умножение породится тензорным произведением, если оно есть (для отношений вот тоже есть). А вот покомпонентное умножение — всё так же по-старому из другой оперы, просто есть какой-то прямоугольный кусочек целочисленной решётки $X\subset\mathbb Z^2$ или $X = \mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$, группа $G$ и «матрицы» — функции $X\to G$, откуда совершенно ясно, зачем им покомпонентное произведение; но в таком случае «матрицы» никак не выделены по сравнению с функциями от кусочков решётки больших размерностей (и я бы предложил их так не называть, но люди делают это слишком часто, чтобы легко можно было что-то изменить); кроме того над такими матрицами естественны и другие операции, ненатуральные в общем случае над теми первыми: всякие сдвиги решётки, особенно циклические для $X = \mathbb Z_m\times\ldots\times\mathbb Z_n$, и вообще там рядом окопалось преобразование Фурье.