Доказать, что число иррационально.

[kot-obormot]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста,разобраться в задаче.

Доказать, что число $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{7}$ иррационально.

У меня такая идея: Докажем от противного. Пусть это не так, тогда $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{7}=\dfrac{m}{n}$

$m$ и $n$ в данном случае натуральные

$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{7})^3=\dfrac{m^3}{n^3}$

$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{7^3}+3\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{7}+3\sqrt[3]{w}\sqrt[3]{49}=\dfrac{m^3}{n^3}$

К противоречию прийти не удалось. Как быть, подскажите, плиз?

[Утундрий]

kot-obormot в сообщении #1420128 писал(а):

Как быть

Вы рано остановились.

[kot-obormot]

Утундрий в сообщении #1420129 писал(а):

Вы рано остановились.

А что дальше делать?) Не пойму

-- 10.10.2019, 19:40 --

$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{343}+3\sqrt[3]{28}+3\sqrt[3]{98}=\dfrac{m^3}{n^3}$

[Утундрий]

topic46755.html

[ИСН]

Корень третьей степени из куба семи, если его не упростить, так и останется неупрощённым.

[Утундрий]

Наверное есть в этом всём какая-то высокая наука, но и тупое "в куб и снова в куб" нормально срабатывает. Получается два уравнения относительно двух кубических иррациональностей. После чего вопрос сводится к доказательству иррациональности $\sqrt[3]{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 7}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 7}}}$.

[Sonic86]

kot-obormot в сообщении #1420130 писал(а):

А что дальше делать?) Не пойму

-- 10.10.2019, 19:40 --

$\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{343}+3\sqrt[3]{28}+3\sqrt[3]{98}=\dfrac{m^3}{n^3}$

У Вас арифметические ошибки.
Чтобы не ошибаться в арифметике, вычислите $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})^3$, потом полученное надо попытаться немного упростить, потом работает утверждения Утундрий-я

(Оффтоп)

Интересный у Вас никнейм. Я так своих котов всегда обзывал

[EUgeneUS]

Можно заметить, что
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$
Тогда второй раз в куб возводить не нужно.

[Утундрий]

EUgeneUS
$a^2b$ и $ab^2$ разные иррациональности.

[RIP]

Утундрий в сообщении #1420158 писал(а):

EUgeneUS
$a^2b$ и $ab^2$ разные иррациональности.

Мы предполагаем, что $a+b$ рационально.

[Утундрий]

Действительно, так проще.

[kot-obormot]

Спасибо большое! Разобрался. Нужно в итоге было доказать иррациональность $\sqrt[3]{14}$

[novichok2018]

А как просто доказать иррациональность $\sqrt[3]{14}$ ?
Понятно, работает спуск, увидел.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1420225 писал(а):

А как просто доказать иррациональность $\sqrt[3]{14}$ ?

Например, так: если бы это число рациональным, то оно было бы целым, но целым оно быть не может, потому что $2<\sqrt[3]{14}<3$.

[EUgeneUS]

nnosipov
Можно ли доказывать так же, как доказывается иррациональность $\sqrt{2}$ через основную теорему арифметики?
Насколько понимаю, сразу доказывается, что
$\sqrt[n]{a} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \exists b, b^n = a$
$n, a, b \in \mathbb{N}$