2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение13.09.2019, 12:54 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Есть вопросы по упражнениям на страницах 44 и 45 следующей книги.
Takeuti, Gaisi, and Wilson M. Zaring. Introduction to Axiomatic Set Theory. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1982. Print. Graduate Texts in Mathematics 1.

Цитата:
(3) $\operatorname{Tr}(A) \implies \bigcap(A)\subseteq A$.
(4) $a\in A \implies \bigcap(A)\in a$.

В упражнении 3, если выбрать $A=0$, то $\bigcap(A) = V$, и $V\subseteq A$ явно ложно. Если $A$ непуст, то, полагаю, можно найти цепочку $\in$, ведущую из $A$ в $0$, и исходя из транзитивности по индукции доказать $0\in A$, и тогда $\bigcap(A)\subseteq A$ истинно, но почему бы не написать просто $\bigcap(A)=0$?

В упражнении 4, если выбрать $a=0$ и $A=\{0\}$, то следует $0\in 0$. Возможно, имелось в виду $a\in A \implies \bigcap(A)\subseteq a$?

Цитата:
(4) $\alpha\in K_\mathrm{I} \implies \alpha = \sup(\alpha) + 1$.

Если выбрать $\alpha=0$, то $\sup(\alpha) + 1 = 0 + 1 = 1\not=0$. (Мне кажется, по идее, $0$ надо считать предельным ординалом.)

Цитата:
Определение 7.22. $\alpha + 1 \overset{\Delta}{=} \alpha\cup \{\alpha\}$.

Цитата:
Определение 7.27. $K_\mathrm{I} \overset{\Delta}{=} \{\alpha\mid \alpha = 0 \lor (\exists\beta)[\alpha = \beta + 1]\}$.
$K_\mathrm{II} \overset{\Delta}{=} \mathrm{On} - K_{I}$.


Заглавными латинскими буквами обозначаются классы, греческими буквами обозначаются ординальные множества. Пустое множество обозначается как $0$. Класс всех множеств обозначается как $V$. Класс всех ординальных множеств обозначается как $\mathrm{On}$. Предикат $\operatorname{Tr}(A)$ значит, что $A$ транзитивен.

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение13.09.2019, 14:03 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Хм кстати может оказаться полезным Metamath. Там некоторые идеи брались из Takeuti и Zaring как раз, так что там могут попадаться теоремы оттуда, но без потенциальных опечаток.)

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение13.09.2019, 15:15 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1414884 писал(а):
Хм кстати может оказаться полезным Metamath.

Так это ещё что-то учить надо. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение13.09.2019, 20:01 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Я думаю, в (3) должно быть объединение.

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение13.09.2019, 22:54 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
george66 в сообщении #1414918 писал(а):
Я думаю, в (3) должно быть объединение.

Похоже, но упражнение с объединением уже было на странице 40 под номером 10.

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение14.09.2019, 15:22 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Упражнение из той же оперы. Упражнение (2) после определения 7.37 на старнице 45.
Цитата:
$$\inf_{>\beta} (\alpha) = \begin{cases}
	0 &\text{ if }\alpha\leq \beta,
	\\ \beta+1 &\text{ if }\alpha>\beta.
\end{cases}$$

Пусть $\beta$ любой. Положим $\alpha = \beta+1$. Тогда
$$\alpha-\beta = (\beta\cup \{\beta\}) - \beta = \{\beta\} - \beta = \{\beta\}$$
так как $\beta\not\in \beta$. Следовательно, $\inf_{>\beta} (\alpha) = \inf(\{\beta\}) = \beta \neq \beta+1$.

Цитата:
Определение 7.37.
  • (1)
    $$\inf(A) \overset{\Delta}{=} \begin{cases}
		\bigcap(A\cap \mathrm{On}) &\text{ if }A\cap \mathrm{On}\neq 0,
		\\ 0 &\text{ if }A\cap \mathrm{On} = 0.
	\end{cases}$$
  • (2) $\inf_{>\beta} (A) \overset{\Delta}{=} \inf(A - \beta)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение14.09.2019, 17:23 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
И ещё одно. Упражнение (4) после определения 7.37 на старнице 45.
Цитата:
$A\neq 0\implies \inf(A)\in A$

Положим $A = \{\{\{\varnothing\}\}\}$. Так как $\{\{\varnothing\}\} \not\in \mathrm{On}$, $A\cap \mathrm{On} = 0$, и $\inf(A) = 0$, но $0\not\in A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring
Сообщение22.09.2019, 15:03 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Упражнение 2 на странице 50.
Цитата:
Если в предложении 7.44 $a\in \mathrm{On}$ и $H$ — строго монотонная ординальная функция на $\mathrm{On}$, тогда $F$ — строго монотонная ординальная функция на $\mathrm{On}$.

Цитата:
Предложение 7.44. Если $G = \{\langle x, y\rangle \mid [x=0\land y=a] \lor [x\neq 0\land \sup(\mathscr{D}(x)) \neq \mathscr{D}(x)\land y = H`x`\sup(\mathscr{D}(x))] \lor [x\neq 0\land \sup(\mathscr{D}(x)) = \mathscr{D}(x)\land y = \bigcup \mathscr{W}(x)]\}$ и $F \mathrel{\mathscr{F}n} \mathrm{On}\land (\forall\alpha) (F`\alpha = G` (F\restriction \alpha))$, тогда
  1. $F`0 = a$,
  2. $F`(\beta+1) = H` F` \beta$,
  3. $F`\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} F`\gamma$, $\beta\in K_{\mathrm{II}}$,
  4. $F$ уникален.


Положим $H = \{\langle x, x\rangle\mid x\in \mathrm{On}\}$. Тогда, как я понимаю, $(\forall\alpha) (F`\alpha = 0)$. То есть $F$ не является строго монотонной ординальной. Возможно, имелось в виду следующее условие на $H$: $(\forall\alpha) (\alpha < H(\alpha))$.

Обозначения: $\mathscr{W}(F)$ — это область значений функции $F$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group