Топология на векторных пространствах

[ewert]

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Почему создавая топологии на векторных пространствах мы опираемся на конструкцию нормы?

Там дальше слишком мудрёно, а вот почему -- это банально.

Топологии для практического применения -- это вообще-то извращения. Или, что то же, обобщения естественного понимания сходимости на практически ненужные случаи (теоретически-то нужные, конечно). Практически же нужны и интересны лишь расстояния. Т.е. пространства -- не более чем метрические.

Но вот беда: в большинстве интересных случаев на таких пространствах есть ещё и линейная структура. И её тогда надо с метрикой хоть как-то, да согласовать. Иначе выйдет очередной сферический животный в вакууме.

Ну и наиболее экономный способ (и практически всегда работающий) -- тупо добавить к аксиомам метрики аксиому однородности, после чего норма автоматически и возникает.

[maximav]

Ну наконец-то, нашелся хоть один, кому не надо разжевывать и который все понял с "первого скачка".

ewert в сообщении #1414739 писал(а):

Иначе выйдет очередной сферический животный в вакууме

Вот мой вопрос частично и сводился к выявлению способов введения топологий (для согласования с непрерывностью на числах) с известными и "извращенными" способами. Какие из них можно считать естественными (критерии, мотивы), а какие, если их формально изобрести, придется оставить как "кони в вакууме"?

ewert в сообщении #1414739 писал(а):

Ну и наиболее экономный способ (и практически всегда работающий) -- тупо добавить к аксиомам метрики аксиому однородности, после чего норма автоматически и возникает.

Это если метрическую топологию считать "богом данной". Критерий для "Экономный и работающий" нам всем известен, но про метрическую функцию можно было бы задать такие же вопросы, что про норму. То есть по идеологии моих вопросов, здесь нет разницы.

ewert в сообщении #1414739 писал(а):

Там дальше слишком мудрёно, ...

Я примерно так и догадывался, но есть подозрение, что не так все фигово.

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

Известно ли кому рассуждение, что тот способ, что нам известен (неравенства треугольника и т.д.) единственный, чтобы создавать топологию на векторах? Если это вообще корректный ход рассуждений.

То, что здесь надо еще естественно договорить, я надеюсь, понятно. Речь все-таки идет не о полной абстракции, а о "содружестве" ее с той топологией, которую мы, не важно по каким причинам, считаем нужной нам

maximav в сообщении #1414024 писал(а):

позарез

то есть топологичность используемого числового поля. Если дальше "махать руками", то слова примерно следующие. Поскольку на наших

ewert в сообщении #1414739 писал(а):

пространствах есть ещё и линейная структура.

то интуиция подсказывает, что в силу абстрактной аддитивности/коммутативности на векторах - не понятно, почему вы говорите

ewert в сообщении #1414739 писал(а):

беда?

- то рассуждения сведутся к чему-то одномерному и числовому (базисы, координаты). То есть к ОДНОМУ числу, значение которого мы условно назовем числовым значением нормы/метрики. А тут уже совсем тепло. Одно число создали из рассуждений, а сами числа перед этим, с "позарез" необходимой топологией, у нас уже есть. В конце концов, математиками же тоже движут мотивировки. Может что уже насочиняли.

PS. По поводу коней. Нормы у нас, даже если и возникают в прикладных задачах, не всегда хорошо отмотивированы. Скорее вводятся формально просто потому, что ничего другого математики еще не изобрели; что знаем, то и умеем. Конь, в общем-то, частично остается подвешенным в вакууме. И это все - в конечномерных пространствах. Бесконечность для меня сейчас тоже не существенна.

[ewert]

maximav в сообщении #1415021 писал(а):

рассуждения сведутся к чему-то одномерному и числовому (базисы, координаты). То есть к ОДНОМУ числу,

Вовсе не обязательно к одному, кстати. Топологию можно задавать и полунормами. Но, заметьте: во-первых, хоть и полу-, но всё же нормами. А во-вторых, если и приходится так делать, то по бедности; ничего хорошего в этом нет.

maximav в сообщении #1415021 писал(а):

Нормы у нас, даже если и возникают в прикладных задачах, не всегда хорошо отмотивированы. Скорее вводятся формально просто потому, что ничего другого математики еще не изобрели; что знаем, то и умеем. Конь, в общем-то, частично остается подвешенным в вакууме. И это все - в конечномерных пространствах.

Всё наоборот. Как раз в конечномерных случаях нормы не нуждаются ни в какой мотивации, поскольку там все нормы эквивалентны. А вот в бесконечномерных мотивации обычно очень даже прозрачны, и именно с прикладной точки зрения. Скажем, в функциональных пространствах: можно задавать норму равномерную, а можно интегральную (в первую очередь квадратичную). И то, и другое нужно по очевидным сугубо прагматическим соображениям.

[maximav]

ewert в сообщении #1415026 писал(а):

Вовсе не обязательно к одному, кстати. Топологию можно задавать и полунормами

Поскольку я просто махал руками, то тут можно было понапридумать еще черт знает что: полунормы, полуметрики ... Задавай = сочиняй топологию как хочешь, лишь бы правила выполнялись. С абстрактными аксиомами норм/метрик и их "полу-недоделок", как знаем, дело делается. А больше ничего не придумали? За 100 лет-то. Из разряда "числовых коней"? Главный мотив у нас - старый. Длины и расстояния в физическом пространстве. А в прикладнухе уже давно любые размерности линейных пространств, матрицы и т.д. Не сказал бы, что прикладывать сюда аналог такого физического костыля - хорошо мотивировано. Скорее, все-таки, "большего пока не знаем".

[Brukvalub]

maximav в сообщении #1415029 писал(а):

Не сказал бы, что прикладывать сюда аналог такого физического костыля - хорошо мотивировано. Скорее, все-таки, "большего пока не знаем".

Кому адресованы все эти стоны о мотивированности и о знании-незнании? Пустые разговоры ни о чем...

[maximav]

ewert в сообщении #1415026 писал(а):

поскольку там все нормы эквивалентны

Тут важно не то, что их много и они топологически неразличимы, а то какие у нее аксиомы. С какого неба? Ну, грубо говоря, представим себе, что мы знаем, что такое топология, что такое числа (с ней же), но мы сами одномерные. Стало быть привычные длины в физическом 3-х мерии нам не ведомы! Но мы умные и придумали линейно многомерную абстракцию. Тогда норму на ней мы придумаем? Чтобы состряпать топологию. По каким соображениям?

[ewert]

maximav в сообщении #1415029 писал(а):

А в прикладнухе уже давно любые размерности линейных пространств, матрицы и т.д. Не сказал бы, что прикладывать сюда аналог такого физического костыля - хорошо мотивировано. Скорее, все-таки, "большего пока не знаем".

А зачем больше-то? Тем более в "прикладнухе". Там ведь надо считать, цифирки скрещивать. Там чего-то более абстрактное, чем нормы, просто неуместно.

[maximav]

Вот-вот! Большего может и не нужно придумывать, а вот понять почему мы цифирки скрещиваем ИМЕННО таким образом, как норма велит, было бы не лишним? Я как-то подозреваю, что собака зарыта в сопоставлении таких пунктиков: 1) многомерие + линейность/аддитивность 2) топология на 1-мерии и 3) прямое произведение этих 1-мерностей, поскольку наша линейность - тоже, грубо говоря прямое произведение $\mathbb R$.

[Brukvalub]

Хочется понять, какой смысл всего вот этого:

maximav в сообщении #1415039 писал(а):

вот понять почему мы цифирки скрещиваем ИМЕННО таким образом, как норма велит, было бы не лишним? Я как-то подозреваю, что собака зарыта в сопоставлении таких пунктиков: 1) многомерие + линейность/аддитивность 2) топология на 1-мерии и 3) прямое произведение этих 1-мерностей, поскольку наша линейность - тоже, грубо говоря прямое произведение $\mathbb R$.

Кот это мы, которые "цифирки скрещиваем"? Что такое "топология на 1-мерии"? Почему "наша линейность - тоже, грубо говоря прямое произведение $\mathbb R$."?
Создается устойчивое ощущение, что для генерирования подобных тексов используется процедура случайного перемешивания математических терминов с дальнейшим их согласованием по правилам русского языка.
По отдельности большинство терминов известны и понятны, но вот подобные их сочетания образуют малоосмысленные фразы.

[maximav]

(Оффтоп)

Да не ищите тут смысла. Его нет, а на форуме есть много другого, чего почитать. У будет вам счастье.

[ewert]

maximav в сообщении #1415039 писал(а):

что собака зарыта в сопоставлении таких пунктиков: 1) многомерие + линейность/аддитивность 2) топология на 1-мерии и 3) прямое произведение этих 1-мерностей, поскольку наша линейность - тоже, грубо говоря прямое произведение $\mathbb R$.

Во-первых, прямые произведения тут уж точно ни при чём. Во, вторых, это извращённая логика: аксиоматики вовсе не конструируются из каких-то кирпичиков. Они выкристаллизовываются выделением минимально необходимого набора понятий. В данном случае была потребность обобщить понятие предельного перехода, сложившегося в обычном анализе, на анализ функциональный (которого тогда, впрочем, ещё не было). Выяснилось, что достаточно положить в основу три свойства (не аксиомы) обычного модуля: положительность, однородность и неравенство треугольника. Они явно необходимы: без третьего нельзя делать оценки, а без второго нет непрерывности относительно умножения на число, что тоже было бы странно. Их же и достаточно.

[maximav]

$V\ni \vec a\mapsto (a_1,a_2,\ldots)\in \mathbb R^n=\mathbb R\times \mathbb R\times \cdots$

[ewert]

maximav в сообщении #1415063 писал(а):

$V\ni \vec a\mapsto (a_1,a_2,\ldots)\in \mathbb R^n=\mathbb R\times \mathbb R\times \cdots$

Красивая формула, но бессмысленная. Даже не считая того, что нормы сочинялись вовсе не $\mathbb R^n$ ради.

[arseniiv]

Мне кажется, ТС не вчитался в

ewert в сообщении #1415026 писал(а):

Как раз в конечномерных случаях нормы не нуждаются ни в какой мотивации, поскольку там все нормы эквивалентны.

и/или не знает, что эквивалентность здесь — термин, обозначающий, что нормы/метрики задают одну и ту же топологию.

[Brukvalub]

arseniiv в сообщении #1415075 писал(а):

Мне кажется, ТС не вчитался в...

Все проще: ТС сам написал, что он ни во что и не вчитывается, а просто генерирует бессмысленные тексты :

maximav в сообщении #1415051 писал(а):

Да не ищите тут смысла. Его нет

Смысл его текстам придаем мы, читатели, а ТС с интересом за этим наблюдает: оказывается, любой белиберде можно придать смысл!