2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение08.09.2019, 20:04 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1414144 писал(а):
имеется в виду интерполяция
В том смысле, в котором я понимаю этот термин - нет.
На двоичном дереве решений, приведенного выше, для любого $t$ имеется решение
$a=1,b=2t^2\pm 2t+3,l=t^2+1\quad (1)$

Из него по формулам Виета имеем

$a_2=2b(2l+1)-a=8t^4-8t^3+24t^2-12t+17$ (я взял с минусом)

и из него уже

$l_2=ab-l\quad (2)$ получается тот полином.
Процесс можно продолжать, получатся еще полиномы.

Вообще $l=t^2+1$ только когда одна из переменных $a,b$ равна единице и на следующей итерации (мое мнение).

Если применть формулу $(2)$ для решения $(1)$ получится $l=(t\pm 1)^2+1$

Но стоит уйти от единичек, решения для $l$ уже не имеют такой вид.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение08.04.2020, 09:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вот решение задачи в том стиле, в котором мне хотелось это сделать (на днях внезапно озарило).

Теорема. Пусть $2 \leqslant d \neq t^2-1$. Тогда уравнение $$x^2-(d^2+d)y^2=-d^2+1\eqno(*)$$ неразрешимо в целых числах $x$, $y$.

Доказательство. Пусть $(x_*,y_*)$ --- такое решение $(*)$, что $x_* \geqslant 0$ и $1 \leqslant y_*<\sqrt{d}$. Положим
$$
x_1=-2y_*(y_*^2-1)d+(2y_*^2-1)x_*-y_*^3, \quad d_1=(2y_*^2-1)d-2y_*x_*+y_*^2.
$$
Тогда имеет место равенство
$$
x_1^2-(d_1^2+d_1)y_*^2=-d_1^2+1.
$$
В самом деле, после подстановки вместо $x_1$ и $d_1$ указанных выражений и упрощения оно превращается в равенство
$$
x_*^2-(d^2+d)y_*^2=-d^2+1.
$$
1. Докажем неравенство $d_1>-1$. Оно равносильно неравенству
$$
(2y_*^2-1)d+y_*^2+1>2y_*x_*,
$$
которое после возведения в квадрат и замены $x_*^2$ на $(d^2+d)y_*^2+d^2-1$ сводится к очевидному неравенству $(d+y_*^2-1)^2>0$.

2. Следовательно, $d_1 \geqslant 0$. Если $d_1=0$, то, как нетрудно видеть,
$$
d=y_*^2 \pm 2y_*,
$$
что противоречит условию $d \neq t^2-1$. Итак, $d_1 \geqslant 1$. Но случай $d_1=1$ также невозможен, поэтому окончательно имеем $d_1 \geqslant 2$.

3. Докажем, что $d_1<d$. Это неравенство равносильно неравенству
$$
2(y_*^2-1)d+y_*^2<2y_*x_*.
$$
После возведения в квадрат и преобразований получим
$$
(y_*^2+2(d+1)y_*+2d)(-y_*^2+2(d+1)y_*-2d)>0.
$$
Неравенство $-y_*^2+2(d+1)y_*-2d>0$ равносильно ограничениям
$$
d+1-\sqrt{d^2+1}<y_*<d+1+\sqrt{d^2+1},
$$
которые при $1 \leqslant y_*<\sqrt{d}$ выполнены.

4. Докажем, что $d_1 \neq t_1^2-1$. Действительно,
$$
((d+1)y_*-x_*)^2-(d+1)(d_1+1)=((d+1)y_*-x_*)^2-(d+1)((2y_*^2-1)d-2y_*x_*+y_*^2+1)=
$$
$$
=x_*^2-(d^2+d)y_*^2+d^2-1=0.
$$
Значит, произведение $(d+1)(d_1+1)$ является точным квадратом. Теперь утверждение ясно, так как $d \neq t^2-1$.

5. Таким образом, из разрешимости параметрического уравнения $(*)$ при некотором значении $d$ следует разрешимость $(*)$ и при некотором меньшем значении $d$. Но тогда возможен бесконечный спуск. Противоречие.

Комментарий. Несмотря на громоздкость формул для $x_1$ и $d_1$, они имеют естественное происхождение. Настоящее чудо происходит в п. 4 (именно по этой причине задачу и удается решить).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение25.11.2020, 15:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Некоторое продолжение сюжета (намекнул John Robertson).

Пусть $x$, $y$ и $d \geqslant 2$ --- натуральные числа, для которых верно равенство $x^2-(d^2+d)y^2=-d^2+1$. Могут ли числа $d+1$ и $dy^2-d+1$ оказаться не взаимно простыми?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Пелля с параметром
Сообщение07.12.2020, 13:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Предыдущий вопрос мог показаться не слишком интересным, но на самом деле он сводится к следующему вопросу про разрешимость параметрических уравнений Пелля.

Рассмотрим уравнение $$u^2-(y^2-1)v^2=\frac{2-y^2}{e},\eqno(*)$$ где $u$, $v$ --- неизвестные, а $y \geqslant 2$ и $e \geqslant 1$ --- параметры, причем $e$ делит $y^2-2$. Верно ли, что уравнение $(*)$ разрешимо только при $e=1$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group