2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тема для дипломной работы
Сообщение17.03.2006, 00:25 
Заблокирован


16/03/06

932
*** ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КИНЕМАТИКИ. ***

Резюме.

В статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Рассматриваются зависимости времени t(x), скоростей v(x), ускорений a(x) от координат, то есть обратные задачи кинематики, которые редко встречаются в учебниках механики. Показана возможность, на основе дифференциальных определений физических величин, переноса метода составления простейших уравнений движения в другие разделы физики.
Перспективная тема для дипломной работы бакалавра или даже магистра.

********** В большинстве учебников по механике раздел кинематики ограничивается определениями траектории, системы координат, перемещения , скорости v=dx/dt, ускорения a=dv/dt и выводом формул пути для средней, мгновенной скорости, пути для равноускоренного движения X=Xo+v*t+a*t^2/2.
Оказывается: из формул, определяющих скорость v=dx/dt и ускорение a=dv/dt, получается замечательная пропорция
-------- v*dv = a*dx ------- , или -- v(x)*dv(x)=a(x)*dx -- ,
то есть дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Область ее применения оказывается неожиданно обширной. По аналогии с выводом этого уравнения, можно вывести, подобные ему, дифференциальные уравнения вращательного движения, движения по кругу и других физических процессов, для которых даны определения физической величины Y(x), ее первой y'(x) и второй y''(x) производных. Из определений мгновенных скорости и ускорения получаются следствия: dv/dx = a/v, dt = dx/v(x), x(t) = 1/t(x), применение которых редко встречается в решениях задач по механике.

-- Вывод закона сохранения механической энергии. --

Умножим обе части уравнения на постоянную величину m, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. Для вращательного движения, аналогично - из определений угловой скорости w=df/dt и углового ускорения e=dw/dt получаем пропорцию, умножим ее на постоянные массу, радиус в квадрате и проинтегрировав, получаем формулу закона сохранения m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f. Коротко и убедительно, по сравнению с доказательством через множество трехэтажных формул в теореме Нетер. Кстати, через определяющие формулы угловой скорости dv/dr=w=v/r можно вывести очень простое доказательство закона сохранения момента импульса m*( r*dv+v*dr)=0 или m*v*r=Const.

***Алгоритмы решения задач на основе уравнения.***

* Если известна зависимость ускорения от координат a(x), то уравнение примет вид v^2(x)=2*Integr(a(x)*dx). Например:
a(x)= K*x ---> v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx)
a(x)= G/x^2 ---> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2)
1. Находим скорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5
2. Находим время t(x)=Integr(dx/v(x))
3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Если известна зависимость ускорения от скорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например:
a(v)=g-k*v ---> dv/(g-kv)= dx
a(v)=g-k*v^2 ---> dv/(g-kv^2)= dx
1. Интегрируем уравнение с разделенными переменными
2. Находим зависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v)
3. Находим зависимости t(x)=Integr(dx/v(x))
4. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Усли известна зависимость v(x), то, интегрируя, находим t(x)=Integr(dx/v(x)).
* Если известна зависимость v(t), находим из нее первообразную - X(t) и производную - a(t).
* Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются, в виде решений, готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции.
* Заметим - это замечательное уравнение является шаблоном для подстановки в него известных функций при решении конкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенных интегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. Иначе можно получить не верную формулу или формулу, где значение физической величины не имеет предела. В теоретической механике существуют похожие шаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.

****Примеры решения задач.****

* Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Дана зависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение:
находим v^2(x)= 2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5,
находим t(x)=Int(dx/v(x))=
(R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5)
Ответ: время падения t=2072c.
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод времени через эллиптическую формулу, исходя из законов Кеплера.

* Найти период колебаний пружинного маятника, если известна зависимость a(x)=k*x/m.
Решение:
находим v^2(x)=2*Integr(k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo^2-x^2)
находим T=4* t(x)=4*Integr(dx/v(x))=2*Pi*(m/k)
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода, исходя из готовой функции x= A*sin(w*t), определяющей гармонические колебания.
**Вывод закона сохранения механической энергии из формулы силы** / 2 закона Ньютона/:
m*a=F :исходная формула
m*dv=F*dt :в дифф.форме
m*v*dv=m*a*v*dt :умножили на v
m*v*dv=m*a*dx :освободились от dt
m*v^2/2=m*a*x : вывели неопределенный интеграл - формулу ЗСЭ.
**Взяв определенные интегралы, докажем теорему о изменении Ек.
***А теперь докажем, что формула m*v^2/2 справедлива для любой конкретной зависимости ускорения от координаты /а(х)/:
v(x)=(2*I(a(x)*dx))^0,5 :скорость из формулы ЗСЭ
dv(x)=a(x)*dx/(2*I(a(x)*dx))^0,5 : дифф-л скорости
v(x)*dv(x)=a(x)*dx :их произведение - ЗСЭ в дифф.форме.

Заключение.

Статья написана в кратком стиле, в предположении, что читателю знакомы условные обозначения использованных в формулах физических величин. Длина обозначена символом "х" для удобства восприятия ее как независимой переменной. Возможны некоторые ошибки, пусть читатель-рецензор их исправит, если статья покажется ему полезной.

Ю. Архипов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тема для дипломной работы
Сообщение20.03.2006, 18:06 


09/02/06
50
Киев
Архипов писал(а):
получается замечательная пропорция
-------- v*dv = a*dx ------- , или -- v(x)*dv(x)=a(x)*dx -- ,


Пропорция, действительно, замечательная. Это всего лишь следствие замены переменных t -> t(x), переход от одной независимой переменной к другой. Я этой формулой на каждом шагу пользуюсь. В чём тут новизна?

Архипов писал(а):
-- Вывод закона сохранения механической энергии. --
Умножим обе части уравнения на постоянную величину m, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии.


Собственно, если продифференцировать закон сохранения энергии, мы получим эту замечательную пропорцию.

Архипов писал(а):
3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).


Мне показалось или нет? :shock:

Архипов писал(а):

* Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются, в виде решений, готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции.


Если по-честному, то дифференциальные уравнения надо решать прибегая к интегралам. И в простых случаях полученные интегралы тоже можно взять "руками".

Архипов писал(а):

* Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Дана зависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение:
находим v^2(x)= 2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5,
находим t(x)=Int(dx/v(x))=
(R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5)
Ответ: время падения t=2072c.
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод времени через эллиптическую формулу, исходя из законов Кеплера.


Как по мне, решение с помощью законов Кеплера выглядит изящнее. Кстати, школьники-олимпиадники именно так и решают.

В 1-м томе Ландау (стр. 54) задача Кеплера решается тоже через зависимость времени от координат.

Ваш подход удобен и красив. Но что нового он может дать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.03.2006, 00:26 
Цитата:
Ваш подход удобен и красив. Но что нового он может дать?


Благодарен за квалифицированную рецензию читателю из Киева. Что нового он может дать?
* возможность использования такого подхода в других разделах физики, где определены первая и вторая производные любой физической величины.
** Почти во всех статьях по гармоническим колебаниям написано уравнение y''+ky=0 и далее говорится: "это уравнение имеет одно из решений x(t)=A*sin(wt)". Хотя, как показано в моей статье, можно индуктивным методом вывести это решение, а не ссылаться на готовое.
*** Не зная механики Лагранжа, теории дифференциальных уравнений, можно таким образом решать многие задачи по простому алгоритму.

  
                  
 
 
Сообщение21.03.2006, 10:17 


09/02/06
50
Киев
Anonymous писал(а):

Благодарен за квалифицированную рецензию читателю из Киева. Что нового он может дать?
* возможность использования такого подхода в других разделах физики, где определены первая и вторая производные любой физической величины.
** Почти во всех статьях по гармоническим колебаниям написано уравнение y''+ky=0 и далее говорится: "это уравнение имеет одно из решений x(t)=A*sin(wt)". Хотя, как показано в моей статье, можно индуктивным методом вывести это решение, а не ссылаться на готовое.
*** Не зная механики Лагранжа, теории дифференциальных уравнений, можно таким образом решать многие задачи по простому алгоритму.


Те, кто ссылаются на готовые решения ДУ, знают как их решать. И зачем каждый раз выводить решение?
У нас в КГУ каждый студент слушает курс интегрального ичисления и дифференциальных уравнений, и курс классической механики тоже.
Ваш подход хорош, но, как мне кажется, на дипломную работу не тянет. Может для школьников это была бы неплохая работа.
Предложите задачу, которая бы оригинально решалась таким способом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 15:36 
Заблокирован


16/03/06

932
Цитата:
Те, кто ссылаются на готовые решения ДУ, знают как их решать. И зачем каждый раз выводить решение?


1. Я потому и предложил эту тему, что она мною не исследована до конца. Возможно, пользуясь этим уравнением, удастся обойтись без ссылок на решения ДУ, так как решение выводится прямым интегрированием. То есть : не ищем формулу решения в справочнике по ДУ, а ищем первообразную в таблице интегралов. Если превообразная не выводится, то вычисляем интеграл численным способом. Предполагаю, что в справочнике по ДУ решение для такого случая отсутствует.
2. Пользуясь этим подходом, легче будет освоить механику Лагранжа. Это замечательное уравнение - такой же шаблон для вставки функций, что и уравнение Лагранжа 2 рода.

Цитата:
Предложите задачу, которая бы оригинально решалась таким способом.


В первой статье я привел шесть-семь примеров, в том числе очень простые выводы законов сохранения. Предлагаю такую задачу: дана чаша в форме полусферы радиусом в 1 м, с ее верхнего края скользит тело, под действием силы тяжести, без сопротивления среды, внутрь чаши. Через какое-то время, согласно закона сохранения энергии, тело достигнет верхнего края чаши с ее противоположной стороны. Найти это время, g=9,81. Ответ: t=2*Integr(R*dx/(2g*cos(x)^0,5)=1,2 c.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2006, 16:48 


09/02/06
50
Киев
В этой задаче всё равно эллиптические функции получаются.
А соответствующее уравнение
$ R\phi''(t) + mg\sin\phi(t) = 0 $
это уравнение можно домножить на $ 2\phi'(t) $ и свести к интегралу, который получился у вас.
Я хочу сказать, что методы отличаются всего на одно действие, т.е. практически одинаковы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 01:15 
Заблокирован


16/03/06

932
Прямо говоря, в методе ничего нового нет, замечательна в нем только простота. Большинство студентов, по моим наблюдениям давних лет, усваивают только то, что нужно для экзамена и не более. В дипломной же работе важнее проявить умения, чем эрудицию. Потому и предложил такую тему. Чтобы не кочевали из статьи в статью одни и те же методы.
***Или такая тема: как выводится формула P=p*v^2/3 в МКТ? Рассмотрением движения молекул в кубике. А если рассмотреть это движение в шарике, то вывод еще проще: делим центробежную силу молекул в объеме шара на площадь сферы и получим ту же формулу. Делим центробежную силу молекул в объеме цилиндра на боковую поверхность - получаем формулу P=p*v^2/2 вместо длинного вывода способом Бернулли. На такой модели ясно видно, что скорость звука приблизительно в полтора раза меньше средней скорости молекул, так как передача импульса происходит не по прямой линии, а по дуге окружности.
**Предлагал эти темы своей дочке, когда она бакалаврскую работу писала - отказалась: "Мне нужно минимум десять ссылок на литературу, а тут на кого я буду ссылаться? Доказывать, что это я сама придумала?" Вот.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2006, 11:01 


09/02/06
50
Киев
Ну, в работе есть обзор, а есть оригинальная часть. Я думаю, сослаться всегда есть где и на кого. Главное - чтобы тема понравилась.
А ваша идея с шариком и цилиндров мне нравится - оригинально.
Если хотите, пишите мне в асю (212647946). Там было бы удобней общаться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group