2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кубические иррациональности
Сообщение10.07.2019, 06:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Может ли сумма двух кубических иррациональностей быть квадратичной иррациональностью? А произведение?

(На всякий случай: кубическая иррациональность --- это корень неприводимого над $\mathbb{Q}$ многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами; аналогично понимается квадратичная иррациональность.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубические иррациональности
Сообщение10.07.2019, 11:34 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
С произведением, имхо, попроще: если $x$ — кубическая иррациональность, то и $1/x$ тоже. Или вы хотите именно строго квадратичную иррациональность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубические иррациональности
Сообщение10.07.2019, 12:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
iifat в сообщении #1404303 писал(а):
Или вы хотите именно строго квадратичную иррациональность?
Иначе совсем неинтересно (в обоих случаях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубические иррациональности
Сообщение10.07.2019, 16:09 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Произведение может: $\alpha=\sqrt[3]{4}$, $\beta=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2})\sqrt[3]{2}$, $\beta^3=2$, $\alpha\beta=-1+\sqrt{-3}$ квадратичная иррациональность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубические иррациональности
Сообщение10.07.2019, 17:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Padawan
Да, ровно этот пример и имелся в виду. Возможно, что принципиально иных (например, с вещественной квадратичной иррациональностью) примеров и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубические иррациональности
Сообщение30.07.2019, 17:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Как-то тема заглохла, хотя задача, на мой взгляд, вполне содержательная и, вроде бы, нетрудная. Тем не менее, прошу тех, кто в теме и кому не лень (или хочется немного отвлечься от летних дел) проверить следующее решение на предмет корректности.

Будем доказывать (методом от противного), что сумма двух кубических иррациональностей не может оказаться квадратичной иррациональностью.

Пусть $F=\mathbb{Q}(\alpha)$, где $\alpha$ --- одна из данных кубических иррациональностей, и $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ --- (кубический) многочлен, обнуляющий вторую кубическую иррациональность $\beta$.

Если $f(x)$ неприводим над $F$, то поле $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)=F(\beta)$ не может содержать квадратичных иррациональностей, так как
$$
[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}]=[F(\beta):F] \cdot [F:\mathbb{Q}]=9.
$$
В частности, $\gamma=\alpha+\beta \in \mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ не является квадратичной иррациональностью.

Рассмотрим случай, когда $f(x)$ приводим над $F$ и, следовательно, имеет корень $\beta_1 \in F$. Пусть $\beta_2$ и $\beta_3$ --- остальные корни $f(x)$. Можно считать, что $\beta=\beta_2 \not\in F$. Предположим, что $\gamma_2=\beta_2+\alpha$ есть квадратичная иррациональность. Тогда $\gamma_3=\beta_3+\alpha$ также является квадратичной иррациональностью, причём сопряжённой. Действительно, имеем
$$
f(x)=(x-\beta_1)(x^2+\xi x+\eta),
$$
при этом $\beta_2$, $\beta_3$ --- корни $x^2+\xi x+\eta \in F[x]$. Кроме того,
$$
(\gamma_2+a)^2=b
$$
для некоторых $a,\,b \in \mathbb{Q}$. После упрощения получим
$$
-\xi\beta_2-\eta+2\alpha\beta_2+\alpha^2+2a(\beta_2+\alpha)+a^2=b.
$$
Отсюда $-\xi+2\alpha+2a=0$, $-\eta+\alpha^2+2a\alpha+a^2=b$. Но тогда
$$
-\xi\beta_3-\eta+2\alpha\beta_3+\alpha^2+2a(\beta_3+\alpha)+a^2=b
$$
и, как следствие, $(\gamma_3+a)^2=b$. (Можно просто рассмотреть автоморфизм сопряжения $\phi:F(\beta_2) \to F(\beta_2)$, при котором $\phi(\beta_2)=\beta_3$.)

Значит,
$$
(\gamma_2-\gamma_3)^2=(\beta_2-\beta_3)^2=c \in \mathbb{Q}.
$$
Можно с самого начала считать, что $\beta_1+\beta_2+\beta_3=0$. Тогда
$$
\beta_1(\beta_2+\beta_3)+\beta_2\beta_3=-\beta_1^2+\beta_2\beta_3=d \in \mathbb{Q}.
$$
Теперь имеем
$$
c=(\beta_2+\beta_3)^2-4\beta_2\beta_3=\beta_1^2-4\beta_2\beta_3=-3\beta_1^2-4d,
$$
т. е. $\beta_1$ --- не более чем квадратичная иррациональность. Противоречие.

Замечание. Как правило, сумма (как и произведение) двух иррациональностей степени $m$ и $n$ является иррациональностью степени $mn$. Но бывают и исключения. Например, формула Кардано показывает, что сумма двух иррациональностей 6-й степени вполне может оказаться кубической иррациональностью. (Разумеется, есть и более тривиальные примеры типа суммы двух сопряженных квадратичных иррациональностей.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубические иррациональности
Сообщение05.08.2019, 12:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Только что обнаружил, что эта задача уже была (случайно!) решена вот здесь: topic99842.html Там, правда, речь идет о конкретном $\sqrt{2}$, но доказательство проходит и для произвольной квадратичной иррациональности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 12d3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group