2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 02:12 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте. Пусть матрица $C=AB$ и доказано, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}B$. Требуется доказать, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}A$. Говорится, что вследствие установленного неравенства и свойства $C^*=(AB)^*=B^*A^*$ имеем $\operatorname{Rang}C=\operatorname{Rang}C^*\leqslant\operatorname{Rang}A^*=\operatorname{Rang}A$.
Но я не вижу, как из выше отмеченных двух фактов следует, что $\operatorname{Rang}C^*\leqslant\operatorname{Rang}A^*$ и что нам в этом случае дает транспонирование.
Понятно, что требуемое неравенство можно доказать так, как и "доказанное", но интересно сделать так, как приводится в книге. Можете дать какую-то подсказку, о чём подумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
misha.physics в сообщении #1408289 писал(а):
Но я не вижу, как из выше отмеченных двух фактов следует, что $\operatorname{Rang}C^*\leqslant\operatorname{Rang}A^*$ и что нам в этом случае дает транспонирование.


Возьмите неравенство $\operatorname{rank}(AB)\le \operatorname{rank} B$ и замените в нём $A$ на $B^*$ и $B$ на $A^*$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1408289 писал(а):
Пусть матрица $C=AB$ и доказано, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}B$. Требуется доказать, что $\operatorname{Rang}AB\leqslant\operatorname{Rang}A$.

А это, простите, верно? Пусть $A$ - вырожденная, а $B$ - единичная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 12:36 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
g______d, спасибо, получилось!

Munin, мне представляется верным. $B$ это квадратная матрица, произведение $AB$ дает $A$, у матрицы $A$ ранг не может быть больше, чем у себя самой и не больше ранга матрицы $B$, посколько у последней ранг равен числу её строк (столбцов) $n$, а произведение $AB$ имеет количество столбцов равное $n$.

-- 02 авг 2019, 11:48 --

Похоже, я это рассуждал в немного более общем случае, когда матрица $A$ необязательно квадратная. Здесь, конечно о вырожденности говорить нельзя, но можно наложить условие, что ранг матрицы $A$ строго меньше её числа строк и столбцов. Некоторый аналог для вырожденности квадратной матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
misha.physics в сообщении #1408315 писал(а):
посколько у последней ранг равен числу её строк (столбцов) $n$

Это почему это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 12:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Munin в сообщении #1408309 писал(а):
А это, простите, верно?
Разумеется, это верно. Имеет место следующий медицинский факт: ранг произведения двух матриц не превосходит ранга любой из них (здесь матрицы любые, лишь бы было определено их произведение). Если один из сомножителей --- единичная матрица, то это утверждение тривиализуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 13:02 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1408318 писал(а):
Это почему это?

Поскольку матрица $B$ является единичной (по условию), то её ранг равен числу её строк (столбцов). Они ведь линейно независимы. И определитель единичной матрицы не равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nnosipov
А, мне почему-то строгое неравенство примерещилось.

misha.physics
Извините, что сбил своими вопросами!

-- 02.08.2019 13:08:45 --

misha.physics в сообщении #1408322 писал(а):
Поскольку матрица $B$ является единичной

Я не понял, что вы рассматриваете мой пример, и подумал, что вы говорите про общий случай. Этот вопрос тоже снят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об ранге произведения матриц
Сообщение02.08.2019, 13:32 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1408325 писал(а):
Извините, что сбил своими вопросами!

Наоборот, я, благодаря этому вопросу сделал для себя одно открытие. Оказывается, что $AE=A$ не только тогда, когда обе матрицы $A$ и $E$ квадратные. Но переставить сомножители в этом случае уже нельзя, то есть, $EA\ne A$, оно вообще не определено. Интересно, имеет ли какую-то "ценность" произведение матриц $AE=A$, где $A$ это $m \times n$ матрица, а $E$ это единичная $n \times n$ матрица, где, вообще говоря, $m\ne n$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group