2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение30.07.2019, 23:52 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Применяя в лоб формулу Эйлера-Маклорена до 1-го порядка, получим
$$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\operatorname{arctg} (\frac{1}{{\sqrt k }})}  = (n + \frac{1}{2})\arcsin (\frac{1}{{\sqrt n }}) + \sqrt {n - 1}  - \frac{1}{{24n\sqrt {n - 1} }} - \frac{{47}}{{48}} - \frac{{3\pi }}{8} + {R_2}$$
где оценка остатка
$$\left| {{R_2}} \right| \leqslant \frac{{2\zeta (2)}}{{{{(2\pi )}^2}}}\int\limits_1^{n - 1} {\frac{{3k + 1}}{{4{k^{3/2}}{{(k + 1)}^2}}}dk}  = \frac{1}{{48}}(1 - \frac{2}{{n\sqrt {n - 1} }})$$
Учитывая, что $$\sqrt {4n - 1}  - \sqrt {n - 1}  - (n + \frac{1}{2})\arcsin (\frac{1}{{\sqrt n }}) \sim  - \frac{5}{{12}}\frac{1}{{\sqrt n }} + O({n^{ - 3/2}})$$
получаем оценку
$$\sqrt {4n - 1}  - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\operatorname{arctg} (\frac{1}{{\sqrt k }})}  \sim (\frac{{47}}{{48}} + \frac{{3\pi }}{8} + \delta ) + O({n^{ - 1/2}})$$
где $\left| \delta  \right| < \frac{1}{{48}}$
Собственно такая-же "дельта" есть и у Maple что и означает её $O(1)$. Применяя эту формулу с порядками выше, можно получить и лучшие приближения, как у Maple.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 00:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Ms-dos4 в сообщении #1408009 писал(а):
Применяя эту формулу с порядками выше, можно получить и лучшие приближения, как у Maple.
Да, по крайней мере знаменатель $11520$ получается при порядке, равном четырем.

Upd. Да чего там знаменатель, вся дробь получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 00:12 


05/09/16
11468
То есть, предел таки конечный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 00:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
wrest
Во всяком случае, не бесконечный. Надо еще аккуратно доказать, что он существует. Кажется, это из монотонности следует. (Все, спать пошел.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 07:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Markiyan Hirnyk в сообщении #1407992 писал(а):
Вы неправы: признание математической программой своего бессилия решить поставленную задачу предпочтительнее, чем неверный результат.
Вскрытие показало, что в данном случае результат верный (по крайней мере, имеет разумную интерпретацию).

Кстати, если убрать $\arctg$, то Maple выдает точный результат $-\zeta(1/2)$. А вот при замене $\arctg$ на $\arcsin$ получаем $\infty$, что уже непохоже на правду (если судить по численным экспериментам).

Upd. Примерно такая же картина и с функциями $\sin$ (здесь осмысленный ответ) и $\tg$ (здесь опять почему-то $\infty$). В общем, срабатывает с вероятностью $1/2$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 08:07 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
nnosipov в сообщении #1408071 писал(а):
Кстати, если убрать $\arctg$, то Maple выдает точный результат $-\zeta(1/2)$.

Математика дает $-\zeta(1/2)-3\pi/8$. Откуда, раскладывая арктангенс в ряд Маклорена,
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\left[  \sqrt{4n-1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\arctg\frac1{\sqrt{k}}  \right]
=-\zeta(1/2)-3\pi/8+\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k+1} \zeta \left(\frac{1}{2} (2 k+1)\right)}{2 k+1}.
$$
Численно похоже на правду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 08:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vince Diesel в сообщении #1408073 писал(а):
Математика дает $-\zeta(1/2)-3\pi/8$.
Это предел чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 09:11 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
nnosipov в сообщении #1408075 писал(а):
Это предел чего?

Что-то я не то насчитал. Математика также дает $-\zeta(1/2)$ и получается $$
\lim\limits_{n\to\infty}\left[  \sqrt{4n-1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\arctg\frac1{\sqrt{k}}  \right]
=-\zeta(1/2)+\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k+1} \zeta \left(\frac{1}{2} (2 k+1)\right)}{2 k+1}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 09:12 


11/07/16
801
nnosipov
Цитата:
Вскрытие показало, что в данном случае результат верный (по крайней мере, имеет разумную интерпретацию).

Результат старой версии Мэйпла, приведеннй в вопросе $\frac {11287}{11520}+\frac 3 8 \pi +O(1)$ является асимптотической оценкой, значение предела действительнозначной последовательности, если он существует, - это действтельное число. Полагаю, что в рассматриаемом примере это значение не выражается в замкнутом виде (Сумма ряда не является рузультатом в замкнутом виде.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 09:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vince Diesel в сообщении #1408076 писал(а):
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\left[  \sqrt{4n-1}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}\arctg\frac1{\sqrt{k}}  \right]
=-\zeta(1/2)+\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k+1} \zeta \left(\frac{1}{2} (2 k+1)\right)}{2 k+1}.
$$

Численно похоже на правду. Интересно, что здесь будет, если $\arctg$ заменить на $\arcsin$ (или $\sin$, или $\tg$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 11:35 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Для синусов аналогично,
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\left[  2\sqrt{n}-\sum\limits_{k=1}^{n}\sin\frac1{\sqrt{k}}  \right]
=-\zeta(1/2)+\sum _{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^{k+1} \zeta \left(\frac{1}{2} (2 k+1)\right)}{(2 k+1)!}.
$$
Для тангенса ряд Маклорена записывается через числа Эйлера, но результат должен иметь такую же форму. Получается регуляризованное суммирование - вычитается главный член асимптотики. Вероятно, ответы такие же, как и для суммирования по Рамануджану. Оно как раз умеет суммировать дзета функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение31.07.2019, 12:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Vince Diesel
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение01.08.2019, 05:22 


29/09/06
4552
Благодарю всех откликнувшихся.
Как выяснилось в интернетах, не я один захотел поиметь этот предел.
Подходы к этой задачке, ранее мне неведомые, прояснились.
А $\zeta$-функция мне просто до сих пор дорогу не переходила (я знал о ней, но надеялся дожить жизнь без неё). Ну ладно, пусть будет.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение16.08.2019, 14:17 


14/08/19
4
Алексей К.
Maple свыше 20-летней давности прожевал и не поперхнулся. Уж не знаю, скольким цифрам тут можно верить... :D

Изображение
Изображение

Снизу продолжение цифр, настройки форума не дают впихнуть бОльшую картинку, пришлось разделить на две части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Я спросил у Maplы про предел
Сообщение16.08.2019, 15:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
sv503 А что он выдает без float?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group