2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство 26("как бы Йенсен").
Сообщение30.07.2019, 16:16 


03/03/12
1380
Требуется доказать неравенство:
$f(b,a,c)=b^2+a^2+c^2+\frac{2}{\pi^2}(\sin^2\pi b+\sin^2\pi a+\sin^2\pi c)-\frac3 4\ge0$
$b+a+c=1$, $(b,a,c)$ неотрицательные. $b\le a\le c$, $(\pi b,\pi a)$ находятся в первой четверти, значит неравенство достаточно доказать при $a=b$.
Для получения усиленного неравенства воспользуемся двумя верными неравенствами:
1). $\sin^2\pi x\ge[\pi x(1-\frac1 6\pi x)]^2$
2). $b^2+a^2+c^2\ge\frac1 3(b+a+c)$
Получим усиленное неравенство (главное, что бы оно было верно хотя бы при $a=b$; этого будет достаточно):
$3(b^2+a^2+c^2)-\frac2 3\pi(b^3+a^3+c^3)+\frac{1}{18}\pi^2(b^4+a^4+c^4)-\frac3 4\ge0$
Учитывая, что $c=1-b-a$, $1-2a\le c\le1-2b$, получим более усиленное неравенство:
$3(2b^2+(1-2a)^2)-\frac2 3\cdot3.15(2a^3+(1-2b)^3)+\frac{1}{18}\cdot3.14^2(2b^4+(1-2a)^4)-\frac3 4\ge0$
Теперь проверяем это неравенство при $a=b$.
У меня получился положительный многочлен четвёртой степени без действительных корней. Значит исходное неравенство верно.
(Отсутствие действительных корней можно проверить на Вольфраме. Можно ручками, используя соответствующий критерий.)

Прошу проверить решение (получилось слишком просто в идейном плане; может ошиблась).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group