Имитационное моделирование волновой функции.

[fps24]

Есть следующая задача.

Требуется: Составить алгоритм имитационного моделирования излучения и поглощения фотона для одномерного случая. В момент времени: $t_0=0$ - фотон излучается свободным атомом в точке: $x=0$. Дискрет моделирования по $x$ выбрать так, чтобы вероятность обнаружения фотона в момент времени $t_0$ в дискрете $x=0$ стремилась к $100\%$. Шаг моделирования по $t$ выбрать так, чтобы на каждом следующем шаге моделирования фотон находился в каждом следующем дискрете по направлению распространения. Детекторы фотонов: $A$, $B$, $C$ - расположены в точках с координатами: $x_A = -8$ ; $x_B = 4$ ; $x_C = 8$. Вероятность обнаружения фотона каждым из детекторов: $100\%$. При попадании в детектор фотон поглощается. Провести моделирование и определить вероятность попадания фотона в каждый из детекторов.

Если я правильно понимаю - в момент излучения фотон в данной задаче находится в суперпозиции двух направлений распространения, поэтому волновая функция его положения в любой из моментов времени может быть записана как:

$$\psi = a\psi_- + b\psi_+$$

где $\psi_-$ - волновая функция положения фотона для отрицательного направления распространения, $\psi_+$ - волновая функция положения фотона для положительного направления распространения, а $a$ и $b$ - постоянные коэффициенты.

Тогда эквивалентная схема моделируемого эксперимента в момент времени: $t=2$ - будет выглядеть так:



Причём, амплитуды для излучения фотона в обе стороны совпадают, поэтому:

$$\lvert a \rvert^2 = \lvert b \rvert^2 = 0.5$$

Исходя из определения волновой функции положения фотона, как амплитуды вероятности обнаружения фотона в соответствующем положении, алгоритм имитационного моделирования должен быть (насколько я понимаю) примерно следующим:

1. Выполнить приращение времени.
2. Вычислить волновые функции $\psi_-$ и $\psi_+$ для данного момента времени.
3. Рассчитать вероятности обнаружения фотона в каждом из детекторов.
4. Если вероятность обнаружения фотона отличается от нуля для двух детекторов - выбрать (с учётом нормировки) один из детекторов, в качестве обнаружившего фотон.
5. При обнаружении фотона в одном из детекторов - учесть "попадание" для итоговой статистики этого детектора и завершить моделирование.
6. Перейти к пункту 1.

Но при таком алгоритме имитационное моделирование даёт следующую итоговую статистику "попаданий":

$P_A = 25\%$
$P_B = 50\%$
$P_C = 25\%$


Правильные же результаты должны быть:

$P_A = 50\%$
$P_B = 50\%$
$P_C = 0\%$

Понятно, что фотон не может пройти в положительном направлении дальше детектора $B$ и вне зависимости от факта обнаружения фотона в детекторе $B$ - волновая функция $\psi_+$ должна уничтожаться в момент времени $t=4$ :



и в случае, если фотон не был обнаружен в детекторе $B$, то в момент времени $t=5$ волновая функция положения фотона уже будет иметь вид:

$$\psi = a\psi_-$$

причём

$$\lvert a \rvert^2 = 1$$

Но какое условие должно использоваться в таком случае в алгоритме имитационного моделирования для определения того момента времени, когда волновая функция должна измениться?

[Утундрий]

Вы начали с середины?

[fps24]

Утундрий в сообщении #1404557 писал(а):

Вы начали с середины?

Да.

В красном квадрате находится точка излучения фотона. Взаимодействие фотона с детекторами возможно только в точках $A$, $B$ и $C$. Взаимодействие детектора и фотона приводит к обнаружению фотона и его поглощению.

[Утундрий]

У вас сейчас ровно два варианта. Или даете ссылку на тезаурус вашего птичьего наречия или продолжаете чирикать дальше в гордом одиночестве.

[Pavia]

Pphantom
Просьба пока товарещя не банить. Тему в пургаторий не скидывать.

[fps24]

Утундрий в сообщении #1404578 писал(а):

У вас сейчас ровно два варианта. Или даете ссылку на тезаурус вашего птичьего наречия или продолжаете чирикать дальше в гордом одиночестве.

Надеюсь, есть и третий вариант - помочь привести моё птичье наречие в более адекватный вид. Если общий смысл моих "птичьих трелей" понятен, то как изложенный выше вопрос должен выглядеть на человеческом языке?

[Утундрий]

fps24 в сообщении #1404585 писал(а):

как изложенный выше вопрос должен выглядеть на человеческом языке?

Именно это я и пытаюсь выяснить. Помочь не желаете?

[Pavia]

fps24
У вас условие задачи абсолютно некорректное.

1.

fps24 в сообщении #1404553 писал(а):

3. Рассчитать вероятности обнаружения фотона в каждом из детекторов.

Она у вас дана по условию.

fps24 в сообщении #1404553 писал(а):

Вероятность обнаружения фотона каждым из детекторов: $100\%$

2.

fps24 в сообщении #1404553 писал(а):

Но при таком алгоритме имитационное моделирование даёт следующую итоговую статистику "попаданий":

$P_A = 25\%$
$P_B = 50\%$
$P_C = 25\%$

Согласно пункту 5 и 6. У вас должно было получиться
$P_A = 0\%$
$P_B = 100\%$
$P_C = 0\%$

3. Я так понимаю что вы КМ собрались моделировать. Так вот пока что я у вас не увидел вероятности. Должен быть элемент неопределённости случайности, а у вас он отсутствует.

[warlock66613]

Бросающаяся в глаза проблема - в пункте 4. И в отсутствии внятного описания работы детекторов.

[fps24]

Утундрий в сообщении #1404587 писал(а):

fps24 в сообщении #1404585 писал(а):

как изложенный выше вопрос должен выглядеть на человеческом языке?

Именно это я и пытаюсь выяснить. Помочь не желаете?

Спонтанное тепловое излучение происходит в случайном направлении. Но это направление становится определённым только после "измерения" импульса излучившего атома или излучённого фотона. Для простоты можно считать, что направление излучения фотона становится определённым только после поглощения фотона классическим детектором. До такого поглощения - излучённый фотон имеет амплитуду распространяться в любом возможном направлении, а полная волновая функция его положения является суперпозицией волновых функций распространения фотона в каждом конкретном возможном направлении.

В данной задаче у излучённого фотона только два возможных направления распространения, поэтому его полная волновая функция состоит из двух компонентов, описывающих распространение фотона в каждую из двух возможных сторон.

Если фотон будет поглощён в правом детекторе - результатом измерения его положения станет значение собственной функции $\psi_+$, если фотон будет поглощён в левом детекторе - результатом измерения его положения станет значение собственной функции $\psi_-$, но до измерения - амплитуды обоих исходов равны.

[Утундрий]

fps24
Вы используете устоявшиеся термины "фотон", "взаимодействие", "детекторы" как общепонимаемые. Но если подставить общепонятные термины в Ваши конструкции, получится величайшая чепучелли (с). Вам бы взять их в кавычки (я сделал это за вас) и объяснить через другие, гораздо более общепринятые понятия. Начните с начала, а не с середины.

[fps24]

warlock66613 в сообщении #1404591 писал(а):

Бросающаяся в глаза проблема - в пункте 4. И в отсутствии внятного описания работы детекторов.

Временно переместим детектор $A$ в точку $x=-4$ и проверим, есть ли проблема.



Каждый детектор обнаруживает и поглощает фотон в $100\%$ случаев, но поскольку из условия нормировки полной волновой функции следует, что фотон в данном случае с вероятностью $100\%$ находится в одном из детекторов ( $A$ или $B$ ) и с вероятностью $50\%$ - в каждом конкретном детекторе, то проводить имитацию нужно с учётом обоих этих вероятностей. Например, вероятность обнаружения фотона в одном прогоне для детекторов $A$ и $B$ может вычисляться так:

$x = rand() \% 101$

$P_A = x < 50 \;?\; 1 : 0$

$P_B = x > 50 \;?\; 1 : 0$

В результате такого моделирования фотон всегда будет поглощаться в одном и только в одном из детекторов, причём для каждого из детекторов средняя вероятность попадания в него фотона составит: $50\%$.

Пока проблемы не вижу.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ок, дадим бобру выдохнуть.

[fps24]

Утундрий в сообщении #1404601 писал(а):

fps24
Вы используете устоявшиеся термины "фотон", "взаимодействие", "детекторы" как общепонимаемые. Но если подставить общепонятные термины в Ваши конструкции, получится величайшая чепучелли (с). Вам бы взять их в кавычки (я сделал это за вас) и объяснить через другие, гораздо более общепринятые понятия. Начните с начала, а не с середины.

Попробую.

"Детектор фотонов" - это "измерительный прибор".

Общепонятный смысл этого термина такой:

Цитата:

Блохинцев. Основы квантовой механики. $17
Измерительный прибор должен быть устроен так, что для осуществления его действия в конечном счёте используются только его классические свойства, т.е. такие свойства, в которых постоянная Планка не играет роли. Такой прибор мы называем «классическим».

Цитата:

ЛЛ т.3 $7
Классичность прибора проявляется в том, что в каждый данный момент времени можно с достоверностью утверждать, что он находится в одном из известных состояний $\Phi_n$ с каким-либо определённым значением величины $g$ («показания прибора»); для квантовой системы такое утверждение было бы, разумеется, несправедливым.

Когда "детектор фотонов" изменяет своё состояние - это (по определению) всегда означает "обнаружение" в этом детекторе "фотона".

Это правильное использование общепринятых понятий?

[Утундрий]

Предположим. И когда срабатывает ваш "детектор"? Только не говорите, что когда на него налетит фотон. (Я замаялся с кавычками, поэтому здесь и ниже все слова по умолчанию считаются закавыченными). То есть у ваших фотонов пока они летят определена координата, что ли?