2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 (p-1)! mod p^2
Сообщение29.01.2012, 10:16 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Докажите, что для всякого простого числа $p$ выполняется сравнение
$$(p-1)! \equiv p\cdot \sum_{j=1}^{p-1} (-1)^j B_j \pmod{p^2},$$
где $B_j$ -- числа Бернулли.

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение09.04.2012, 09:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Нечто подобное можно найти у Глаишера: http://gradelle.educanet2.ch/christian. ... _1900b.pdf стр.325

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 13:37 
Аватара пользователя


04/06/14
623

(Оффтоп)

Существуют ли "аналогичные" утверждения, связанные с числами Фибоначчи?


-- 22.05.2015, 15:19 --

maxal, можно ссылку на источник, откуда эта задача? Она решена к настоящему моменту?

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 14:47 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 ! 
maximk в сообщении #1018373 писал(а):
Существуют ли "аналогичные" утверждения, связанные с числами Фибоначчи?
maximk, замечание за оффтоп. Ознакомьтесь с тематикой раздела. Здесь решают сложные задачи, а не занимаются практически пустопорожними вопросами.
Текст обвернут в тег оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 17:41 
Аватара пользователя


04/06/14
623

(Оффтоп)

Deggial, а где можно ознакомиться с тематикой?

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение22.05.2015, 17:49 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728

(Оффтоп)

maximk в сообщении #1018422 писал(а):
а где можно ознакомиться с тематикой?
На главной странице форума под разделом, почитать наугад темы раздела.

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение04.07.2019, 22:26 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
xmaister в сообщении #558216 писал(а):
Нечто подобное можно найти у Глаишера: http://gradelle.educanet2.ch/christian. ... _1900b.pdf стр.325

Использование формулы Глайшира сводит задачу к необходимости доказать сравнение:
$$\sum_{j=0}^{p-2} (-1)^j B_j \equiv 0 \pmod{p}$$
для всех нечётных простых $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение05.07.2019, 03:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1403269 писал(а):
$$\sum_{j=0}^{p-2} (-1)^j B_j \equiv 0 \pmod{p}$$
Это следует практически из определения чисел Бернулли --- из равенства
$$
\sum_{j=0}^{m-1} C_m^jB_j=0
$$
при $m=p-1$. Да, отсюда же вытекает, что числа $B_j$ являются $p$-целыми при $0 \leqslant j \leqslant p-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: (p-1)! mod p^2
Сообщение05.07.2019, 17:15 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov, да, конечно.
Но я припоминаю, что исходное доказательство было напрямую и не подразумевало использование результата Глайшера. Теперь понятно, что они по сути эквивалентны попросту в виду свойств чисел Бернулли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group