Трёхточечная корреляционная функция в конформной теории

[vanger]

Известно, что трёхточечная корреляционная функция для трёх данных скалярных полей в конформно инвариантной теории имеет вид

$$ \langle \phi_1(x_1) \phi_2(x_2) \phi_3(x_3) \rangle = \frac{c}{x_{12}^{\Delta - 2 \Delta_3} x_{23}^{\Delta - 2 \Delta_1} x_{13}^{\Delta - 2 \Delta_2}} \qquad x_{ij} = |x_i - x_j|\,,\quad \Delta = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3\,. $$

Как показать это?
Иными словами, как показать, что функция $f: \mathbb R^d \times \mathbb R^d \times \mathbb R^d \to \mathbb C$, для которой верно

$$ f(x, y, z) = \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|^{\Delta_1 / d}_{x} \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|^{\Delta_2 / d}_{y} \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right|^{\Delta_3 / d}_{z} f(x', y', z') $$

для любых $x,y,z \in \mathbb R^d$ и их образов $x', y', z'$ относительно любого конформного преобразования, это непременно

$$ f(x, y, z) = \frac{c}{|x - y|^{\Delta - 2 \Delta_3} |y - z|^{\Delta - 2 \Delta_1} |x - z|^{\Delta - 2 \Delta_2}} \qquad \Delta = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3\,. $$

Для двухточечной $f(x, y)$ легко видеть, что инвариантность относительно трансляций влечёт $f = f(x - y)$, инвариантность относительно вращений влечёт $f = f(|x - y|)$, инвариантность относительно дилатаций даёт

$$ f(t) = \lambda^{\Delta_1 + \Delta_2} f(\lambda t) \qquad t = |x - y|\,. $$

Дифференцируя по $\lambda$, подставляя $\lambda = 1$ получае дифур, решения которого имеют вид $f(t) = \frac{c}{t^{\Delta_1 + \Delta_2}}$. Инвариантность относительно специальных конформных преобразований фиксирует ещё жёстче.

С трёхточкой же сходу не видно, почему необходимо $f = f(|x - y|, |y - z|, |x - z|)$. Хотелось бы аккуратного аргумента, а не "ну, ничё другого ж не напишешь)0))". Хочется придать чуть более чёткий вид словам типа "трансляциями и отраженими можно перевести любой треугольник с вершинами в $x, y, z$ в любой треугольник с такими же длинами сторон; значения функций на всех таких треугольниках совпадают; значит это функция от классов эквивалентности треугольников относительно подобия; значит это функция длин его сторон".

[Gickle]

Если мне не изменяет память, то утверждение, что для корреляционных функций quasi-primary полей (я это всё не на русском учил, так что извиняюсь за англицизм) в $2\mathrm{d}$ конформной теории поля верно, что относительно конформных диффеоморфизмов

$$\langle \varphi_1(z_1) ... \varphi_n(z_n) \rangle = \langle \varphi'_1(z'_1) ... \varphi'_n(z'_n) \rangle_{z' \to z}$$

Для простоты ограничимся киральными полями, так что

$$\varphi'(z) = \left(\frac{\partial z'}{\partial z}\right)^{-h} \varphi(z'(z))$$

Рассмотрим трёхточечную корреляционную функцию, обозначив её $g(z_1,z_2,z_3)$:

1. Из траснляционной инвариантности следует, что

$$g(z_1,z_2,z_3) = g(z_1 + a, z_2 + a, z_3 + a),$$

так что

$$g(z_1,z_2,z_3) = g(z_1 - z_2,z_2 - z_3,z_1 - z_3).$$

2. Из инвариантности относительно растяжений следует:

$$g(z_1 - z_2,z_2 - z_3,z_1 - z_3) = \lambda^{-h_1 - h_2 - h_3} g\left(\lambda(z_1 - z_2),\lambda(z_2 - z_3),\lambda(z_1 - z_3)\right),$$

откуда

$$g(z_1 - z_2,z_2 - z_3,z_1 - z_3) = \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{\alpha} (z_2 - z_3)^{\beta} (z_1 - z_3)^{\gamma}},$$

где $\alpha + \beta + \gamma = -(h_1 + h_2 + h_3).$

3. Из инвариантности относительно специального конформного преобразования, $z'_i = -1/z_i:$

$$\begin{align} \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{\alpha} (z_2 - z_3)^{\beta} (z_1 - z_3)^{\gamma}} &= z_1^{2h_1} z_2^{2h_2} z_3^{2h_3} \frac{C_{123}}{(-1/z_1 + 1/z_2)^{\alpha} (-1/z_2 + 1/z_3)^{\beta} (-1/z_1 + 1/z_3)^{\gamma}} \\ &= z_1^{2h_1 + \alpha + \gamma} z_2^{2h_2 + \alpha + \beta} z_3^{2h_3 + \beta + \gamma} \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{\alpha} (z_2 - z_3)^{\beta} (z_1 - z_3)^{\gamma}}, \end{align}$$

откуда

$$\begin{cases} 2 h_1 + \alpha + \gamma = 0,\\ 2 h_2 + \alpha + \beta = 0,\\ 2 h_3 + \beta + \gamma = 0, \end{cases}$$

так что $\alpha = -h_1 + h_2 + h_3$, $\beta = h_1 - h_2 - h_3$, $\gamma = -h_1 + h_2 - h_3$, поэтому

$$\langle \varphi_1(z_1) \varphi_3(z_2) \varphi_3(z_3) \rangle = \frac{C_{123}}{(z_1 - z_2)^{-h_1 + h_2 + h_3} (z_2 - z_3)^{h_1 - h_2 - h_3} (z_1 - z_3)^{-h_1 + h_2 - h_3}}.$$

Где-то могут быть ошибки, но в целом ход мыслей примерно такой вроде как. А, ну и я по привычке рассматривал $2\mathrm{d}$ (то есть $\mathrm{S}^2$), так что у меня группа $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$, ну или как там это всё грамотно говорится.

[sivaal]

Да, во 2 пункте ошибка, там должно быть $+h_1+h_2+h_3$. Ответ из-за этого дальше тоже пополз.