2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение21.06.2019, 17:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1400410 писал(а):
Можете расписать так же подробно и аккуратно, как у vpb?
Напишу, только попозже. А пока я даже не понимаю, что там может показаться туманным, когда уже есть текст для сравнения. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение24.06.2019, 18:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Итак, я тут даже сейчас подумал обобщить это на произвольное спаривание пространств одинаковой размерности. Просто перепишу всё, что написал vpb, но абстрагировав.

Пусть у нас есть два одинаковоразмерных конечномерных $V$ и $W$ и билинейное отображение $g\colon V\times W\to F$, где $F$ достаточно хорошее, но не обязательно $\mathbb R$, чтобы дальше можно было рассматривать эрмитову форму.

Определим $\varphi\colon V\to(W\to F)$ каррированием: $\varphi(v) = (w\mapsto g(v, w))$. Видно, что для любого $v$ отображение $\varphi(v)$ линейно (проверять как написано у vpb — тут ведь пока используется билинейность и не используется «природа» $W$ (и даже размерность). Так что мы можем сказать точнее, что $\varphi\colon V\to W^*$, ну и что само $\varphi$ линейно (только теперь можем это сказать, когда стало ясно, что оно действует в линейное пространство).

Так как мы заранее потребовали конечную и равную размерность $V$ и $W$, применим тот же аргумент, что в оригинале: $\varphi$ будет изоморфизмом, если имеет тривиальное ядро. Аргумент ровно тот же, так что не переписываю. (Я так и не понял, где тут предполагалась загвоздка, ну не переписывать же всё дословно с простыми заменами.)

А теперь можно подставить $W = \overline V$. Если $V$ — комплексное векторное пространство, то по определению $\overline V$ — это комплексное же векторное пространство с тем же носителем и сложением, но с другим умножением на скаляр: $\alpha \cdot_{\overline V} \vec v := \overline\alpha \cdot_V \vec v$.

Munin, вам скорее всего будет полезно заметить, что \small $\mathrm{GL}(\overline V, \ldots) \subset\mathrm{\Gamma L}(V, \ldots) = \mathrm{\Gamma L}(\overline V, \ldots)$, и, раз случай комплексный, вообще \small $\mathrm{\Gamma L}(V, \ldots) = \mathrm{GL}(V, \ldots) \cup \mathrm{GL}(\overline V, \ldots)$, потому что автоморфизмов \small $\mathbb C$ всего два (объединение, конечно, не прямое).

В итоге получится, что в присутствии невырожденной эрмитовой формы $g\colon V\times V\to\mathbb C$, или, эквивалентно, невырожденной билинейной формы $\tilde g\colon V\times\overline V\to\mathbb C$ (у физиков аргументы наоборот, конечно), есть изоморфизмы $V\cong\overline V^*$ и $\overline V\cong V^*$ (заметим, что $\overline{\overline V} = V$ и что сопряжения «комплексное» и «линейное» коммутируют).

UPD. Подправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение24.06.2019, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо! Немного более трудный язык, и немного сбило, что вы поменяли обозначения и последовательность, но читаемо.

И разумеется, новая для меня информация. Полезная.

-- 24.06.2019 20:32:12 --

arseniiv в сообщении #1401281 писал(а):
В итоге получится, что в присутствии эрмитовой формы $g\colon V\times V\to\mathbb C$, или, эквивалентно, билинейной формы $\tilde g\colon V\times\overline V\to\mathbb C$

Всё-таки, невырожденной. И той и другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение24.06.2019, 22:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1401300 писал(а):
и немного сбило, что вы поменяли обозначения и последовательность
Да, лень было писать $l_v$, но $\varphi$ осталась! :-)

Munin в сообщении #1401300 писал(а):
Всё-таки, невырожденной. И той и другой.
Да, имел в виду, но не дописал. Доказательство, разумеется, так и остаётся зависящим от невырожденности. Вообще мне стоило бы обобщить до $V, W$ разных размерностей, но я боюсь ошибиться, и вам этого нужно пока не было. Но если кто-то захочет, пускай, и приятно будет почитать.

Можно добавить, что тильда тут — не какая-то общепринятая операция на формах, просто хотел сделать «другую $g$». Но это наверно и так ясно.

Munin в сообщении #1401300 писал(а):
И разумеется, новая для меня информация. Полезная.
Спасибо. :-) В свою очередь как-то раз полез смотреть про $\mathrm{\Gamma L}$ я как раз из-за одной вашей темы.

-- Вт июн 25, 2019 00:18:21 --

Вообще мне тоже полезная, про себя в голове я даже не подозревал, какие получаются изоморфизмы (хотя это всё очевидно и прекрасно стыкуется с тем, что эрмитово сопряжение в присутствии эрмитовой формы «правильное», а простое транспонирование бессмысленно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение24.06.2019, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #1401314 писал(а):
$\varphi$ осталась! :-)

Икс и игрек попортились! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение24.06.2019, 23:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Они были немые и не смогли сказать ничего против.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение25.10.2019, 21:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
arseniiv в сообщении #1401281 писал(а):
потому что автоморфизмов $\mathbb C$ всего два (объединение, конечно, не прямое)
По-моему я тут сразу две ерунды в тот раз написал! Во-первых автоморфизмов $\mathbb C$ куча, просто они из-за аксиомы выбора и страшные и никому не нужны в линале (наверно), во-вторых какое ещё объединение и о каком вообще равенстве $\operatorname{\Gamma L}(\overline V) = \operatorname{\Gamma L}(V)$ можно говорить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение25.10.2019, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Риторический вопрос: можно ли
$$\int\limits_V {\nabla dV = } \oint\limits_{\partial V} {{\mathbf{n}}dS} $$растянуть на восемь страниц?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение12.05.2021, 20:38 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Товарищи! Читаю я тут про все эти тензоры-формы-индексы-Ходжы (звездочку Ходжа не могу уразуметь до конца). И вижу:
nya в сообщении #1358514 писал(а):
Имея $k$-вектор $\omega \in \bigwedge^k V$ и форму объема $\operatorname{det}$ на $V$, можно канонически построоить $n-k$-форму $\operatorname{det}(\omega \wedge ?) \in (\bigwedge^{n-k} V)^*$. Имея вдобавок к этому метрику $g$ на $V$, которая индуцирует изоморфизмы $\sharp : V^* \to V$ и $\sharp : (\wedge^k V)^* = \wedge^k V^* \to \wedge^k V$, мы можем построить соответствие $\star : \omega \mapsto \sharp \operatorname{det}(\omega \wedge ?)$ имеющее тип $\star : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$. Как видно из определения, универсальное свойство этого соответствия в том, что $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$, это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

Разве "универсальное свойство" $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$ не ерунда? Ведь согласно постам уважаемых Slav-27 и vpb (спасибо им огромное)
Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):
Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен). Это и будет то, что вы называете "дуальный тензор", а nya будет называть звёздочкой Ходжа от формы $\omega$ -- с точностью до знака, за которым надо было внимательно следить.

vpb в сообщении #1358677 писал(а):
Про Ходжа. Из формы $g$ на $V$ получается форма $\widetilde g$ на $V\otimes \ldots\otimes V$, ($l$ сомножителей), по правилу $\widetilde g(v_1\otimes\ldots\otimes v_l, u_1\otimes\ldots\otimes u_l)=g(v_1,u_1)\ldots g(v_l,u_l)$. Далее, оказывается, что подпространство полностью антисимметричных тензоров, которое мы обозначим $\bigwedge^l V$, невырождено относительно формы. С другой стороны, есть билинейное отображение $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V\longrightarrow \bigwedge^n V$ (не что иное, как внешнее произведение форм). В силу того, что $\bigwedge^n V$ одномерно, получается билинейное отображение из $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V$ в ${\mathbb R}$.
Притом оно невырождено, и размерности у $\bigwedge^l V$ и $\bigwedge^{n-l} V$ одинаковы. Таким образом, двойственное пространство к $\bigwedge^l V$ канонически изоморфно $\bigwedge^{n-l} V$. Но оно изоморфно и самому $\bigwedge^l V$, в силу невырожденности ограничения формы $\widetilde g$. Поэтому получается некий канонический изоморфизм между $\bigwedge^{n-l} V$ и $\bigwedge^l V$. Это и есть звезда Ходжа.

звезда Ходжа есть линейный изоморфизм между $\bigwedge^{n-l} V$ и $\bigwedge^l V$. Как тогда может быть $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$? Ведь если $\omega\to 0$, то и $\star\omega\to 0$, а тогда и $\operatorname{det} (\omega\wedge\star\omega)\to 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение12.05.2021, 21:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
В тех обозначениях должно быть верным $\omega \wedge \star\omega = (\omega, \omega) \det^\sharp$, откуда $\det(\omega \wedge \star\omega) = (\omega, \omega) (\det, \det)$, и если принять, что форма объёма согласована со скалярным произведением, то есть $(\det, \det) = 1$, то да, остаётся ещё квадрат $(\omega, \omega)$, а не просто 1. Возможно, недопечатка. Действительно, «количество линейности» всех операций слева требует чего-то билинейного по $\omega$ справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение12.05.2021, 22:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
arseniiv
Спасибо! Похоже на то.
Все-таки мне все это дело гораздо понятнее в координатно-индексных обозначениях. Пытаюсь их осмыслить в терминах абстрактных тензорных произведений (дифф. формы с тензорами увязываются легко). Плюс формулу Стокса хочется на разных языках понять, а не только на языке дифф. форм. А то вон в Ландау-Лифшице интеграл берётся по $dS^{ijk}=\begin{vmatrix}dx'^i&dx''^i&dx'''^i\\dx'^j&dx''^j&dx'''^j\\dx'^k&dx''^k&dx'''^k\end{vmatrix}$ (жуть, но что-то в этом есть)
Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):
Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен).

А почему пишут, например, $\star F_{kl}=\frac{1}{2!}F^{ij}\sqrt{|g|}\varepsilon_{ijkl}$? Какой смысл в коэффициенте $1/2$?
И еще, какой смысл этой операции? Вот я понимаю, когда берут простой бивектор $\xi\wedge\eta$ в $\mathbb R^4$, и в его ортогональном дополнении берут бивектор такой же площади, ориентированный так, чтобы вместе с первым получалась положительная ориентация. Потом по линейности распространяют это на все бивекторы (не только простые). Это возможно, потому что описанная операция является билинейной и кососимметричной (относительно исходных векторов $\xi$, $\eta$). Всё наглядно. А как понять, что мы делаем с 2-формами? Просто говорим, что 2-форма и бивектор это одно и то же в силу поднимания и опускания индексов, и делаем то же самое? Или мы делаем другое? Не могу уяснить как подъём-опускание индексов связан со сверткой бивектора с формой объёма. Как-то это в индексной записи можно объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение12.05.2021, 23:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Пока никто не пришёл, ещё напишу.

Насколько я лично понимаю, все $\frac 1 {n!}$ возникают из-за того что элементы внешней алгебры представляются элементами непосредственно тензорной, а это не очень хорошо и в общем у нас выходит свобода с отдельными произвольными множителями для вложения каждой из внешних степеней в соответствующую тензорную (кроме первых двух). И в самых удобных способах вложения или такие факториальные множители будут при антисимметризации в формуле для выражения $\wedge$, или полезут в другие места. Вроде так.

То есть, с меньшим рукомахательством, допустим мы хотим чтобы «естественная антисимметризация» $T(V) \to \wedge(V)\colon v_1 \otimes \ldots \otimes v_n \mapsto v_1 \wedge \ldots \wedge v_n$ (она определена железно единственным образом по определению $\wedge(V)$ как фактора $T(V)$) в композиции с интересующим нас вложением обратно $\wedge(V) \to T(V)$ давала тождественное отображение, то это вложение должно отправлять $v_1 \wedge \ldots \wedge v_n \mapsto \frac 1 {n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma 1} \otimes \ldots \otimes v_{\sigma n}$. А если мы хотим (мнимой?) простоты в этом месте, то факториал вылезет в другом. Или даже при этом определении где-нибудь вылезет, надо все «отензоренные» определения будет аккуратно сверять.

Padawan в сообщении #1518338 писал(а):
А как понять, что мы делаем с 2-формами?
У формы вместо площади ведь этакая «плотность» или «поток» в каком-то направлении, которые можно захватить соответствующим $m$-вектором и посчитать, сколько туда «влезло», так что вроде с одной стороны это не так уж непрозрачно, а с другой действительно не сильно что-то новое, чем просто то же самое, что с $m$-векторами, но дуализованное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение13.05.2021, 04:10 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Padawan в сообщении #1518319 писал(а):
Как тогда может быть $\operatorname{\det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$?
Никак не может, ясно дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение16.05.2021, 06:30 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В физике чаще используется версия звёздочки Ходжа, которая $p$-вектору ставит в соответствие $n-p$-форму, и наоборот. Например, в случае тензора электромагнитного поля, бивектору $F^{kl}$ сопоставляется 2-форма
$(^*F)_{ij}=\frac 1{2!}|g|^{1/2}\varepsilon_{ijkl}F^{kl}$,
а 2-форме $F_{kl}$ бивектор
$(^*F)^{ij}=\frac 1{2!}|g|^{-1/2}\varepsilon^{ijkl}F_{kl}$.

Для наглядности выпишу компоненты тензора ЭМ поля в лоренцевой системе координат через компоненты $\mathbf E$ и $\mathbf H$:
$\begin{array}{rr}F_{ik}=\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&-H_z&H_y\\-E_y&H_z&0&-H_x\\-E_z&-H_y&H_x&0\end{bmatrix}&\quad\quad F^{ik}=\begin{bmatrix}0&-E_x&-E_y&-E_z\\E_x&0&-H_z&H_y\\E_y&H_z&0&-H_x\\E_z&-H_y&H_x&0\end{bmatrix}\\ \\(^*F)^{ik}=\begin{bmatrix}0&H_x&H_y&H_z\\-H_x&0&-E_z&E_y\\-H_y&E_z&0&-E_x\\-H_z&-E_y&E_x&0\end{bmatrix}&\quad\quad (^*F)_{ik}=\begin{bmatrix}0&-H_x&-H_y&-H_z\\H_x&0&-E_z&E_y\\H_y&E_z&0&-E_x\\H_z&-E_y&E_x&0\end{bmatrix}\end{array}$

Одну из величин $\varepsilon_{0123}$ и $\varepsilon^{0123}$ можно выбрать равной $1$, тогда другая будет равна $-1$, соответственно, существует два разных стандарта. Я использовал соглашение
$\varepsilon_{0123}=-\varepsilon^{0123}=1,$
у Ландау и Лифшица наоборот.
Padawan в сообщении #1518338 писал(а):
А почему пишут, например, $\star F_{kl}=\frac{1}{2!}F^{ij}\sqrt{|g|}\varepsilon_{ijkl}$? Какой смысл в коэффициенте $1/2$?
Так как и $F^{ij}$, и $\varepsilon_{ijkl}$ антисимметричны по индексам $i,j$, каждая независимая компонента $F$, которая входит в сумму, входит в неё дважды. Поэтому без коэффициента $\frac 1 2$ в формулах для компонент $(^*F)^{ik}$ и $(^*F)_{ik}$ всюду появились бы множители $2$.

Иначе говоря, множитель $\frac 1{p!}$ обеспечивает $^{**}\mathsf T=\pm\mathsf T$, где $\mathsf T$ это $p$-вектор или $p$-форма. Здесь описано, чем определяется выбор знака, в частности, для тензора ЭМ поля $^{**}F=-F$.

Padawan в сообщении #1518338 писал(а):
И еще, какой смысл этой операции? Вот я понимаю, когда берут простой бивектор $\xi\wedge\eta$ в $\mathbb R^4$, и в его ортогональном дополнении берут бивектор такой же площади, ориентированный так, чтобы вместе с первым получалась положительная ориентация. Потом по линейности распространяют это на все бивекторы (не только простые). Это возможно, потому что описанная операция является билинейной и кососимметричной (относительно исходных векторов $\xi$, $\eta$). Всё наглядно. А как понять, что мы делаем с 2-формами? Просто говорим, что 2-форма и бивектор это одно и то же в силу поднимания и опускания индексов, и делаем то же самое? Или мы делаем другое? Не могу уяснить как подъём-опускание индексов связан со сверткой бивектора с формой объёма.
Для звезды Ходжа $*: \bigwedge^p V\to \bigwedge^{n-p} V^*$, как по мне, получается даже проще. Покажу на примере $n=4, p=2$. Требуется лишь форма объёма
$\Omega: V^4\to\mathbb R.$
Как Вы сказали, достаточно определить оператор $*$ для простых бивекторов. Определяем:
$^*(\xi\wedge\eta)=\Omega(\xi,\eta,\cdot,\cdot)$
Зафиксировав два аргумента 4-формы, получили 2-форму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение18.05.2021, 12:59 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Звёздочка Ходжа определяется соотношением $\alpha\wedge\star\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\mathrm{Vol}$.

Подробности: post1503089.html#p1503089.

Геометрическая интерпретация:
Slav-27 в сообщении #1503508 писал(а):
$V$ -- ориентированное вещестенное евклидово пространство. Ненулевому разложимому $k$-вектору $\alpha=u_1\wedge...\wedge u_k$ сопоставляем разложимый $(n-k)$-вектор $\star\alpha$ в ортогональном дополнении к линейной оболочке $u_1,...,u_k$, имеющий такой же объём: их ровно два -- берём тот из них, чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно. Этим вкупе с линейностью звёздочка однозначно определяется.

Если $V$ псевдоевклидово, то надо поменять "ненулевому разложимому $k$-вектору" на "разложимому $k$-вектору ненулевого объёма".
UPD. А ещё надо "чтобы $\alpha\wedge\star\alpha$ было положительно" поменять на "чтобы оно было одинакового знака с объёмом $\alpha$".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 126 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group