2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение19.02.2018, 20:46 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Верно ли, что для любого натурального $n$ найдется натуральное $x$ такое, что $x^n + 1$ не свободно от квадратов?

Когда я столкнулся с этим вопросом, интуиция уверенно подсказала ответ "да". Стал обосновывать.
Достаточно легко доказал, что это так для всех $n$, не кратных 32.
Но для $n = 32$ не смог пока найти ни одного подходящего $x$.
Если таковое найдется, удастся обосновать справедливость утверждения для всех $n$, не кратных 64.
И т. д.
Но окончательного доказательства на этом пути, увы, не получить. ☹️

Может, найдется добрый человек, подбросит идею, не предполагающую поиск подходящих примеров для всех степеней двойки. А то их сильно много.

-- 19 фев 2018, 21:37 --

Вопрос снят.
(Спасибо, Константину Кнопу)

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 05:28 


21/05/16
4292
Аделаида
VAL в сообщении #1293301 писал(а):
Верно ли, что для любого натурального $n$ найдется натуральное $x$ такое, что $x^n + 1$ не свободно от квадратов?

Так как получилось? Если нет, то для какого и какое доказательство? Если да, то какое доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 12:44 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
kotenok gav в сообщении #1293355 писал(а):
VAL в сообщении #1293301 писал(а):
Верно ли, что для любого натурального $n$ найдется натуральное $x$ такое, что $x^n + 1$ не свободно от квадратов?

Так как получилось? Если нет, то для какого и какое доказательство? Если да, то какое доказательство?
Разумеется, получилось.
Идея такова:
Для $n=2^t$ искать $x$ в виде $2+k\cdot d$, где $d|2^{2^t}+1$.
Наличие подходящего $k$ следует из разрешимости линейного сравнения по модулю $d$.
Для соответствующего $x$ будет иметь место $d^2|x^n+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 12:56 


21/05/16
4292
Аделаида
VAL в сообщении #1293389 писал(а):
Для $n=2^t$

А для других n?
VAL в сообщении #1293389 писал(а):
Для соответствующего $x$ будет иметь место $d^2|x^n+1$.

А почему именно так, а не $d|x^n+1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 18:28 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
kotenok gav в сообщении #1293394 писал(а):
VAL в сообщении #1293389 писал(а):
Для $n=2^t$

А для других n?
А для других $n$, как я раньше и писал, все очевидно.
Можете сами это доказать в качестве несложного упражнения.
Цитата:
VAL в сообщении #1293389 писал(а):
Для соответствующего $x$ будет иметь место $d^2|x^n+1$.

А почему именно так, а не $d|x^n+1$?
Разумеется, в этом случае $d$ тоже будет делителем $x^n+1$ :wink:
Но этого факта мало для того, чтобы утверждать, что $x^n+1$ не свободно от квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 18:42 


21/05/16
4292
Аделаида
VAL в сообщении #1293443 писал(а):
Но этого факта мало для того, чтобы утверждать, что $x^n+1$ не свободно от квадратов.

Я это понимаю. Я не понимаю, почему получается $d^2|x^n+1$, но понимаю, почему получается $d|x^n+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 19:17 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
kotenok gav в сообщении #1293447 писал(а):
Я это понимаю. Я не понимаю, почему получается $d^2|x^n+1$, но понимаю, почему получается $d|x^n+1$.
$(2+k\cdot d)^{2^t}+1$ будет кратно $d$ при любом $k$. За счет же выбора $k$ можно обеспечить делимость на $d^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 19:23 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Уместно упомянуть A248214 и A261117 (а также A260824). Там же приводится доказательство существования нужного $x$ для $n$ равных степеням 2-ки.

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение20.02.2018, 21:48 


29/10/11
94
[math]$(153+2)^4+1=n(17^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: x^n+1 не свободно от квадратов
Сообщение01.06.2019, 10:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
VAL в сообщении #1293301 писал(а):
Верно ли, что для любого натурального $n$ найдется натуральное $x$ такое, что $x^n + 1$ не свободно от квадратов?
Неконструктивное доказательство существования такого $x$ очевидно из следующих общих соображений: 1) каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет бесконечно много простых делителей $p$; 2) взяв достаточно большой простой делитель $p$ многочлена $f(x)=x^n+1$, можно любое решение $x=x_0$ сравнения $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ поднять по Гензелю до решения $x=x_1$ сравнения $f(x) \equiv 0 \pmod{p^2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group