2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Пять точек на сфере
Сообщение27.05.2019, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Читая работы по теме наткнулся на красивый результат Столярского (K. B. Stolarsky, Sums of Distances Between Points on a Sphere II, Proceedings of The American Mathematical Society. Vol. 41, No. 2 (1973), 575-582). Суть его в том, что сумма попарных расстояний между $n$ точками на $k$-мерной сфере $S^k\subset\mathbb{R}^{k+1}$ однозначно определяется "отклонением" расположения этих точек от равномерного.

Именно, если $P=\{\mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_n\}$ -- набор точек на (единичной) $k$-мерной сфере в $\mathbb{R}^{k+1}$, $S(P)$ -- сумма попарных расстояний,
$$
Z(P,\mathbf{x},t)=\mathrm{card}\left\{\mathbf{a}\in P:(\mathbf{a},\mathbf{x})\ge t
\right\}\quad -
$$
число точек, попавших в "шапочку" высоты $1-t$, одетую на точку $\mathbf{x}$, $\sigma^*(t)$ -- нормализованная площадь этой шапочки (то есть ее доля в площади всей сферы), то
$$
S(P)+\int\limits_{-1}^1\left(\frac{1}{\sigma_k}\int\limits_{S^k}\Bigl(Z(P,\mathbf{x},t)-n\sigma^*(t)\Bigr)^2\mathrm{d}\sigma(\mathbf{x})\right)\mathrm{d}t=\frac{n^2d_k}{2}.
$$
Здесь $\mathrm{d}\sigma(\mathbf{x})$ -- элемент площади, $\sigma_k$ -- площадь всей сферы,
$$
d_k=\frac{1}{\sigma_k}\int\limits_{S^k}|\mathbf{x}\mathbf{x}_0|\,\,\mathrm{d}\sigma(\mathbf{x})\quad -
$$
среднее расстояние между двумя точками на сфере.

В случае $k=2$ (то есть для двумерной сферы в трехмерном пространстве) $d_k=4/3$ и мы немедленно получаем
$$
\frac{2n(n-1)}{3}\le S(P)\le\frac{2n^2}{3}.
$$
В случае $n=5$ имеем $S(P)\le 16.(6)$ при том, что гипотетический (и "всеми признанный") максимум приблизительно равен $15.68$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group