Движения пространства.

[trunb1]

Я подсчитал, что у правильной призмы(n=8) - 16 поворотов и 16 отражений(эти элементы образуют группу симметрии). Но как можно доказать, что других элементов в этой группе не имеется(желательно без классификации движений пространства)?

[svv]

Выберем ребро призмы $AB$, которое лежит в одном из оснований. Пусть преобразование переводит $A$ в $A'$, а $B$ в $B'$. Тогда $A'B'$ — ребро той же призмы, тоже лежащее в одном из оснований.
1) Покажите, что, зная образы вершин $A$ и $B$ под действием преобразования, можно найти образы остальных вершин.
2) Рассмотрите варианты:
$\bullet$ Лежит ли $A'B'$ в том же основании, что $AB$, или нет?
$\bullet$ Совпадает ли направление обхода вершин основания от $A'$ к $B'$ с направлением обхода от $A$ к $B$, или нет?

[Connector]

Подскажите, почему только $16$ отражений? насколько я могу понять, у правильной призмы $17$ плоскостей симметрии — $16$ пересекают ребра или вершины оснований, а ещё одна проходит через центры рёбер, соединяющих основания.
Стабилизатор каждой вершины имеет порядок $3$ — значит, группа должна состоять из $48$ элементов?

[arseniiv]

Connector
Это так не работает.
Потом, почему стабилизатор имеет порядок 3?

[trunb1]

svv
При движении основания переходят в основания. Поэтому если $AB$ переходит в $A'B'$, то $BC$ в $B'C'$ и т.д. Если направления обхода не совпадают, то ориентация при движении изменилась

[svv]

Да.
Пусть $A'$ лежит в том же основании, что и $A$. Что можно сказать про образы остальных вершин?
Пусть теперь $A'$ лежит не в том основании, что $A$. Что можно сказать про остальные вершины?

trunb1 в сообщении #1395485 писал(а):

Если направления обхода не совпадают, то ориентация при движении изменилась

Чуть тоньше. Пусть, обходя вершины верхнего основания в порядке: $A, B, C, ...$, мы движемся по часовой стрелке (если смотреть сверху). Перевернём призму. Образы этих вершин будут на нижнем основании, а направление их обхода $A', B', C', ...$ будет против часовой стрелки, хотя ориентация призмы не изменилась.

[Munin]

Connector в сообщении #1395479 писал(а):

Подскажите, почему только $16$ отражений? :oops: насколько я могу понять, у правильной призмы $17$ плоскостей симметрии — $16$ пересекают ребра или вершины оснований, а ещё одна проходит через центры рёбер, соединяющих основания.

Вы обсчитались.
Всего 4 плоскости пересекают рёбра оснований.
4 плоскости пересекают вершины оснований.
И одна "горизонтальная" проходит через центры рёбер.

Получается всего 9 плоскостей симметрии. Остальные "отражения" не являются отражениями в плоскости - они являются композициями отражения и поворота ("зеркальный поворот").

Из этих 9 плоскостей 8 не меняют местами основания, а одно - меняет (и образует подгруппу $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$). Всего получается $8\times 2=16$ "отражений".

-- 26.05.2019 20:42:34 --

Тонкость в том, что плоскость симметрии, проходящая, например, между 1-й и 2-й вершинами верхнего основания - она же проходит между 5-й и 6-й вершинами. Так что вы их просто посчитали дважды.

-- 26.05.2019 20:43:30 --

Кстати, это дициклическая группа, или нет?..

[Connector]

arseniiv в сообщении #1395484 писал(а):

Connector
Это так не работает.
Потом, почему стабилизатор имеет порядок 3?

Да, я уже собирался исправиться: стабилизатор имеет порядок $4$ : нулевое вращение и отражения от трёх плоскостей симметрии, проходящих через вершину.
И правда, не работает.

Munin, да, извините, я обсчитался.

[trunb1]

svv
1)В каждом из этих случаев образы других вершин тоже будут лежать в том же основании, что и образ точки A(из-за того, что при движении основания переходят в основания?)
2)Получается, что направление обхода изменяется при любом движении за исключением поворотов относительно оси, проходящей через середины оснований.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1395492 писал(а):

Кстати, это дициклическая группа, или нет?..

В ru.wikipedia пишут: «Дициклическая группа имеет ровно один элемент порядка 2». Тогда нет.

Connector в сообщении #1395495 писал(а):

Да, я уже собирался исправиться: стабилизатор имеет порядок $4$ : нулевое вращение и отражения от трёх плоскостей симметрии, проходящих через вершину.

Их и не четыре, их две. Если вооружиться предложением svv, можно видеть, что есть всего два элемента: один переводит ребро основания, инцидентное данной вершине, в себя, а другой во второе инцидентное ребро основания, и больше способов нет.

[Munin]

arseniiv
Спасибо. Да, это я уже слишком многого захотел.

[Connector]

(Оффтоп)

arseniiv писал(а)

Цитата:

Их и не четыре, их две

И правда, через каждую вершину проходит только одна плоскость симметрии (мне на это уже указал Munin)
Вижу, перед тем, как вклиниваться в разговор, мне надо было подумать получше и освежить свои познания в теории групп
arseniiv писал(а)

Цитата:

это так не работает

А почему не работает?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну, я имел в виду те ошибки, которые уже нашли.

[svv]

trunb1 в сообщении #1395497 писал(а):

1)В каждом из этих случаев образы других вершин тоже будут лежать в том же основании, что и образ точки A(из-за того, что при движении основания переходят в основания?)

Да, только не всех других, а тех, что были с $A$ на одном основании.
Короче говоря, под действием отображения либо все 16 вершин остаются на тех же основаниях, что и были, либо все 16 меняют своё основание на противоположное.
То же можно сказать о направлении обхода вершин (по или против часовой стрелки, если смотреть сверху). Либо оба восьмиугольника под действием отображения сохраняют направление обхода, либо оба меняют.

trunb1 в сообщении #1395497 писал(а):

2)Получается, что направление обхода изменяется при любом движении за исключением поворотов относительно оси, проходящей через середины оснований.

Не совсем так. Например, можно отразить призму относительно плоскости, проходящей через середины оснований, и направление обхода сохранится.

Справедлива формула:
Направление обхода меняется = вершины меняют своё основание XOR ориентация меняется
Здесь XOR — исключающее "или". Ориентация меняется тогда, когда преобразование получается композицией поворотов и нечётного числа отражений.
Простыми словами, направление обхода меняется, если либо вершины прыгают на другое основание, либо применяется отражение, но не то и другое вместе.
Вы, фактически, предлагали правило, в котором вместо исключающего "или" применяется обычное "или", но я выше привёл контрпример.

[Connector]

Итак, достаточно показать, что порядок стабилизатора каждой вершины равен $2$. Но это видно из того, что из каждой вершины выходят три ребра, и только два могут «переходить» друг в друга (аналогично, вершине инциденты три грани, две из которых подобны).