2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замена переменных
Сообщение24.05.2019, 09:00 


30/04/19
199
Перейдя от переменных $x,y,z(x,y)$ к переменным $t,u,z(t,u)$, найти $z^{\prime\prime}_{xx}$; если $x=t \cos u $, $y=t \sin u $. У меня была идея расписать таким образом: $d^2z=z^{\prime\prime}_{xx}dx^2+2z^{\prime\prime}_{xy}dxdy+z^{\prime\prime}_{yy}dy^2=z^{\prime\prime}_{tt}dt^2+2z^{\prime\prime}_{tu}dtdu+z^{\prime\prime}_{uu}du^2$. Но это приводит к очень громоздким вычислениям. Также была идея воспользоваться теоремой об инвариантности формы первого дифференциала и найти: $z^{\prime}_{x}$; у меня получилось выражение: $z^{\prime}_{x}=t \sin u z^{\prime}_{u}+\sin u z^{\prime}_{t}$, но тогда при взятии второй производной по $x$ от $z^{\prime}_{x}$ получится 0, поскольку $t \sin u$ , $z^{\prime}_{u}$ , $\sin u$ и $z^{\prime}_{t}$ никак не зависят от $x$, но 0 - неверный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменных
Сообщение24.05.2019, 11:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Norma, обратите все-таки внимание, что подобные темы надо создавать в разделе "Помогите решить, разобраться", а не в "Общих вопросах". Поскольку уже в четвертый раз и на информацию о переносе вы не реагируете - предупреждение.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.05.2019, 11:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.05.2019, 01:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменных
Сообщение25.05.2019, 06:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Norma в сообщении #1394942 писал(а):
$d^2z=z^{\prime\prime}_{xx}dx^2+2z^{\prime\prime}_{xy}dxdy+z^{\prime\prime}_{yy}dy^2=z^{\prime\prime}_{tt}dt^2+2z^{\prime\prime}_{tu}dtdu+z^{\prime\prime}_{uu}du^2$

Нет, это не правильно. Второй дифференциал не инвариантен. Должно быть, принимая $x$ и $y$ за независимые переменные, $d^2z=z^{\prime\prime}_{xx}dx^2+2z^{\prime\prime}_{xy}dxdy+z^{\prime\prime}_{yy}dy^2=z^{\prime\prime}_{tt}dt^2+2z^{\prime\prime}_{tu}dtdu+z^{\prime\prime}_{uu}du^2+z'_td^2t+z'_u d^2 u$.

Norma в сообщении #1394942 писал(а):
Также была идея воспользоваться теоремой об инвариантности формы первого дифференциала

Вот это правильно. Первый дифференциал всегда лучше, не надо думать, что от чего зависит, все переменные равноправны.
Norma в сообщении #1394942 писал(а):
и найти: $z^{\prime}_{x}$; у меня получилось выражение: $z^{\prime}_{x}=t \sin u z^{\prime}_{u}+\sin u z^{\prime}_{t}$


Теперь пишите $dz'_x=(...)dt+(..)du$ (по правилам дифференцирования и с учетом того, что $dz'_t=z''_{tt}dt+z''_{tu}du$, $dz'_u=z''_{ut}dt+z''_{uu}du$ ). Затем подставьте сюда $dt$, $du$ выраженные через $dx$, $dy$. Коэффиициент при $dx$ и будет $z''_{xx}$.

-- Сб май 25, 2019 07:08:08 --

Norma в сообщении #1394942 писал(а):
$t \sin u$ , $z^{\prime}_{u}$ , $\sin u$ и $z^{\prime}_{t}$ никак не зависят от $x$


Как это не зависят? $t$ и $u$ зависят от $x$, $y$ в силу замены переменных. А через них и все функции: $(z'_t)'_x=z''_{tt}t'_x+z'_{tu}u'_x$. А $t'_x, t'_y, u'_x, u'_y$ надо найти, дифференцируя уравнения замены (выразить через $t,u$).

P.S. $t\sin u$ и правда не зависит от $x$, т.к. это есть $y$ $\Rightarrow$ $(t\sin u)'_x=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменных
Сообщение25.05.2019, 09:05 


30/04/19
199
Padawan
1)А как примерно должно выглядеть выражение для второго дифференциала? Я правильно понимаю, что $dx$ и $dy$ уже нельзя считать константами? 2)А если бы в задании было бы сказано: перейти к новым независимым переменным, то тогда можно было бы сказать, что вторая производная равна 0 и что второй дифференциал обладает свойством инвариантности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group