2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Путешествие в золотой экран
Сообщение13.05.2019, 19:42 
Аватара пользователя


22/11/13
502
Начинаем мы его с A004718, посвященной датскому композитору (некий Per Nørgård), а точнее его последовательности
$$a(2n) = -a(n), a(2n+1) = a(n) + 1, a(0)=0$$
которую можно представить в виде
$$a_k(n)=(-1)^{n+1}a_k\left(\left\lfloor{n \over k}\right\rfloor\right)+(n \mod k), a_k(0)=0$$
для $k=2$. Далее мы обозначим
$$s_k(n)=\left\lfloor\log_{k}n\right\rfloor, s_k(0)=0$$
затем
$$p_k(n)=\prod_{i=0}^{s_k(n)} (1+a_k\left(\left\lfloor{n \over k^i}\right\rfloor\right))$$
и наконец
$$q_k(m) = \sum_{n=0}^{k^m-1}p_k(n)$$
Что удивительно, для четных $k$ имеем
$$q_k(m)=\binom{k+1}{2}^m$$
Как это можно доказать? Возможно ли обобщение для нетных $k$ (путём незначительной корректировки рекуррентного соотношения для $a_k(n)$)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group