Необычная система конечных разностей

[kthxbye]

Имеем последовательность $q(1,k)=q(1,k+44)$ при $k\geqslant0$ с дополнительными условиями

• $q(1,k)=q(1,k±22)$
  
• $q(1,11)=q(1,11(2m+1))=12$

Вот первые члены, которых нам достаточно для ее бесконечного воспроизводства:

$$0,2,4,6,8,6,8,8,10,10,12,12$$

Далее мы имеем для $n>0$

• $q(n,k)=q(n,4(8n+3)±k)$
  
• $q(n,0)=q(n,4m(8n+3))=0$

Обозначим $q_1(n,k)=q(n+1,k)-q(n,k)$, тогда

• $q_2(n,k)=q_1(n+1,k)-q_1(n,k)=0, 6n+9\geqslant k$
  
• $q_3(n,k)=q_2(n+1,k+6)-q_2(n,k)=0, 12n+4\geqslant k$
  
• $q_4(n,k)=q_3(n+1,k+12)-q_3(n,k)=0, 20n-4\geqslant k$
  
• $q_5(n,k)=q_4(n+1,k+20)-q_4(n,k)=0, 26n+15\geqslant k$

На базе совокупности всех этих условий нам необходимо показать, что

$$\sum\limits_{k=1}^{4(8n+3)} q_1(n,k) = 8(77n+31)$$

$$\sum\limits_{k=1}^{4(8n+3)} q(n,k) = 4(77n^2-3(5n-6))$$

Иными словами, мы должны идентифицировать все значения $q(n,k)$ из промежутка $0\leqslant k\leqslant 2(8n+3)$.

Достаточно ли для этого приведенных условий? Если да, то насколько проблематично получить нехитрую рекуррентную формулу и, собственно, как это сделать?

P.S. Коротенький ликбез для тех, кому интересно, откуда растут ноги у проблемы.

(Оффтоп)

Сначала надо познакомиться с таким понятием, как муравей Лэнгтона. Далее можно задаться вопросом, что произойдёт, если запустить одновременно пару таких муравьев. Сделать это можно, например, в программе Golly. Есть 3 возможных сценария:

• оба муравья строят башни
  
• встречаются в одной точке и уничтожают друг друга (согласно условиям разработчиков Golly; естественно, мы можем придумать что-нибудь другое, но сейчас это для нас не суть важно)
  
• превращаются в осциллятор, т.е. повторяют все действия через определённое число шагов

Является ли конечным число осцилляторов? Назовём пару муравьев, которые образуют осциллятор, примитивным блоком колонии. Тогда можно предположить, что существуют колонии, в которых:

• блоки расположены симметрично относительно друг друга
  
• области, в которых они осциллируют, пересекаются
  
• для любого количества блоков колония всегда является осциллятором

Можно найти довольно много примеров, когда колония осциллирует только при определённых количествах блоков. Но существует как минимум один вариант, где для любого количества блоков $n>0$ колония всегда осциллирует и имеет линейный период $4(8n+3)$. Ниже вы можете видеть такую колонию из 3 блоков:



Трудно описать что делает колония при малых значениях $n$. Для больших мы наблюдаем такую картину:

• первый треугольник достраивается через $\approx6n$ шагов
  
• второй через $\approx12n$
  
• после $2(8n+3)$ шагов все действия повторяются симметрично в обратном порядке

И, наконец, $q(n,k)$ из моего вопроса - это количество чёрных клеток на $k$-том шаге колонии из $n$ блоков.

[пианист]

Первая формула вроде бы прямое следствие второй (и определения $q_1$)?

[kthxbye]

пианист в сообщении #1388020 писал(а):

Первая формула вроде бы прямое следствие второй (и определения $q_1$)?

Вы имеете ввиду сумму? Формулы для сумм и все остальные параметры я получил опытным путём и реккурентное соотношение для $q(n,k)$ (или пусть даже для $q_1(n,k)$) мне нужно в качестве некоего подобия доказательства.