2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Односвязное подмножество плоскости
Сообщение16.04.2019, 04:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть $P \subset \mathbb{R}^{2}$ - линейно связное замкнутое подмножество с тривиальной фундаментальной группой. Верно ли, что с любой простой замкнутой кривой, лежащей в $P$, множество $P$ содержит и внутреннюю относительно этой кривой часть плоскости?

Пытаюсь доказать от противного: пусть $\gamma \colon [0,1] \to P$ некоторая простая петля с началом, скажем в $p \in P$, и $q$ лежит во внутренней части, но не принадлежит $P$. Рассмотрим гомотопию $H \colon [0,1] \times [0,1] \to P$ (т. е. $H(0,t)=\gamma(t)$, $H(1,t)=p$, $H(s,0)=H(s,1)=p$) пути $\gamma$ и тождественного пути. Пусть $\gamma_{s}(t):=H(s,t)$ промежуточные пути и $\Gamma_{s}=\gamma_{s}([0,1])$ их носители. Дальше хочется сыграть на непрерывности, например так. Дополнение $\mathbb{R}^{2} \setminus \Gamma_{s}$ разбивается на непересекающиеся открытые линейно связные подмножества плоскости. Ограниченные части этого разбиения будем называть внутренностью кривой $\Gamma_{s}$, а неограниченную часть - внешностью. Рассмотрим расстояние $d(s)$ от точки $q$ до $\Gamma_{s}$, причем со знаком плюс, если точка $q$ принадлежит внутренности, и минус, если $q$ принадлежит внешности. Тогда $d(0)>0$ и $d(1)<0$. Если бы мы показали, что $d$ непрерывно, то дело сделано. Но $d$, вообще говоря, не непрерывно :D: внутренние точки могут перейти во внешние при малом изменении $s$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Односвязное подмножество плоскости
Сообщение16.04.2019, 06:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Пусть $q$ -- внутренняя точка кривой. Тогда кривая представляет нетривиальный элемент $\pi_1(\mathbb R^2\setminus \{q\},p)$. Если мы в это верим, то больше ничего не нужно (в том числе и множества $X$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Односвязное подмножество плоскости
Сообщение16.04.2019, 07:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
g______d в сообщении #1387967 писал(а):
Пусть $q$ -- внутренняя точка кривой. Тогда кривая представляет нетривиальный элемент $\pi_1(\mathbb R^2\setminus \{q\},p)$. Если мы в это верим, то больше ничего не нужно (в том числе и множества $X$).

А нетривиальный наверное потому, что у этой простой кривой индекс (вокруг $q$) равен 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Односвязное подмножество плоскости
Сообщение16.04.2019, 07:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
demolishka в сообщении #1387972 писал(а):
А нетривиальный наверное потому, что у этой простой кривой индекс (вокруг $q$) равен 1?


Или $-1$.

Но решение зависит от того, чем можно пользоваться. Понятно, что индекс определён для любой точки (не лежащей на кривой) и постоянен на компонентах связности дополнения к кривой. Понятно также, что на неограниченной компоненте связности индекс равен нулю. Очевидно ли, что на оставшейся компоненте индекс нетривиален? Я подозреваю, что это часть доказательства теоремы Жордана, но не вижу, как это можно вывести прямо из теоремы, используя её как "чёрный ящик".

 Профиль  
                  
 
 Re: Односвязное подмножество плоскости
Сообщение16.04.2019, 08:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
g______d в сообщении #1387975 писал(а):
Но решение зависит от того, чем можно пользоваться.

Я хотел просто понять откуда ноги у данного факта растут. По рабоче-крестьянски не получилось, ну что ж. Зато понял, что индекс и есть то соображение непрерывности, которое здесь нужно. А раз корни восходят к теореме Жордана, то и бог с ней :-) . Я все равно теорией индекса на формальном уровне практически не владею. Спасибо Вам за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group