2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Биномальные коэффициенты
Сообщение24.03.2019, 12:07 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Из комбинаторных соображений легко убедиться, что число $$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$
является натуральным.
Можно ли его представить, как линейную комбинацию биномиальных коэффициентов с целыми коэффициентами?

Например, как в следующей задаче:
$$\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=4\binom{2n-1}{n}-\binom{2n+1}{n}.$$
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение24.03.2019, 12:47 


10/03/16
3817
Aeroport
arqady в сообщении #1383789 писал(а):
Из комбинаторных соображений легко убедиться, что число


Потрясающе красивая формула! Какая комбинаторная задача за ней стоит, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение25.03.2019, 01:47 
Аватара пользователя


07/01/16
1422
Аязьма
ozheredov в сообщении #1383792 писал(а):
Какая комбинаторная задача за ней стоит, если не секрет?
A057599 (разложить $n^2$ различимых элементов по $n$ неразличимым коробкам, по $n$ элементов в каждую коробку)

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение25.03.2019, 17:31 
Аватара пользователя


29/04/13
7083
Богородский
Cильно подозреваю, что такой линейной комбинации не существует.

(Произведение)

$$\prod_{i=0}^{n-2}\binom{n(n - i)-1}{n-1}$$Например для $n=4$
$$\binom{15}{3}\binom{11}{3}\binom{7}{3}= 455\cdot165\cdot35 = 2627625$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение26.03.2019, 06:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Yadryara в сообщении #1384078 писал(а):
Cильно подозреваю, что такой линейной комбинации не существует.

Существует, вот:
$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}=C^1_{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение27.03.2019, 07:51 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #1384163 писал(а):
Существует, вот:
$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}=C^1_{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}$$

Тогда уж $$\binom{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}{1}.$$
Yadryara , спасибо! Это видимо то, что я на самом деле искал. Вы умеете читать мысли на расстоянии!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group