2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение07.03.2019, 14:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
dmd
Как действует scwec — это такое искусство, а я каждый раз по-разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение07.03.2019, 16:57 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Трудно ответить на вопрос, когда не знаешь уровень знаний вопрошающего.
Можно выкладывать подробное решение задачи, но оно не будет понято.
У меня конкретный вопрос к dmd:
Вы можете написать выражения для сторон геронова треугольника (кроме прямоугольного и равнобедренного) с хотя бы одной медианой рациональной длины?
"У меня ни как не получается подобрать параметризацию, делающую хотя бы одну медиану натуральной".
Этот вопрос Вы задавали лет 7 назад. И он касается как раз рациональной параметризации.
Напишите ответ отличный от моего. Будет ясней, как отвечать.
С другой стороны, помню, когда на мой вопрос о ранге эллиптической кривой, Вы дали ответ, совпадающий с моим. И тоже лет 7-8 назад.
Скорее всего, Вас интересует конкретное уравнение. Напишите его. Там будет видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение07.03.2019, 17:24 


16/08/05
1146
scwec

(Оффтоп)

Насколько помню, тогда для геронова треугольника так и не смог получить никакой параметризации, хоть и упорно пытался. С рангом не сложно, когда есть такой инструмент как pari/gp или magma.

scwec в сообщении #1380177 писал(а):
1-параметрические решения для уравнения, предложенного dmd $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ в рациональных числах $x,y,z$ :
$x=\dfrac{t+2}{t-1}, y=t, z=\dfrac{3(t^2+t+1)}{t-1}$,
ещё одно:
$x =\dfrac{t(t^3+8)}{4(t^3-1)}, y = t, z = \dfrac{t^6-20t^3-8}{8(t^3-1)}$

Если не сложно, поясните пожалуйста эти параметризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение07.03.2019, 19:00 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для dmd.
Итак, уравнение $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$.
1. Вводим рациональный параметр $r=y$
2. Получаем семейство эллиптических кривых $(x^3-1)(r^3-1)=z^2$
3. Приводим его к виду Вейерштрасса $E_r: w^2=u^3-(r^3-1)^3{u}$, например, используя Maple.
4. Находим хотя бы одну рациональную точку бесконечного порядка $P_r$ на каждой кривой из семейства $E_r$.
Для этого необходимо, чтобы ранг $E_r$ был больше нуля (надо доказывать через Лутц-Нагель). В данном случае это так и есть $P_r=((r+1)^3+1,3(r^2+r+1)^2)$
(это центральный момент, то, что Andrey A называет исскуством, научиться этому трудно, поскольку вычисление рациональных точек на эллиптических кривых - задача тяжелая).
5. Используем формулы перехода Maple от $u,w$ к $x,z$.
6. Получаем $x=\frac{r+2}{r-1}, z=\frac{3(r^2+r+1)}{r-1}$
7. Вычисляем $2P_r=((1/4)r^4+2r, (1/8)r^6+(5/2)r^3+1)$
8. Переходим от $u,w$ к $x,z$ и получаем
9. $x=\frac{r(r^3+8)}{4(r^3-1)}, z = \frac{r^6-20r^3-8}{8(r^3-1)}$
Вычисляем $3P_r$ и т.д.
Кстати, для параметризации героновых треугольников с хотя бы одной медианой рациональной длины,
нужно решать уравнение $(x-1/x)-(y-1/y)=2(z-1/z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение07.03.2019, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
dmd в сообщении #1380367 писал(а):
... в общих чертах, как Вы действуете

К примеру Ваше уравнение $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$. Попытался найти общее решение, обычными средствами не удалось. В целых числах этому соотв. уравнение $(A^3-C^3)(B^3-C^3)=D^2 $, где $A,B,C$ одной четности (чтобы проявились формы вида $a^2+3b^2$), D четное. Почленное деление на $C^6$ в случае успеха возвращает решение в рациональных числах. Пишем $\left ( (x+y-z)^3-(z+x-y)^3 \right ) \left ( (y+z-x)^3-(z+x-y)^3 \right )=(2t)^2$, или $(y-z)(y-x)\left [ (y-z)^2+3x^2\right ]\left [ (y-x)^2+3z^2\right ]=t^2$ (1). Хотелось воспользоваться уравнением $XYZT=Q^2$. Там хоть и много переменных, но решение в целых числах однозначное, однако все три переменные $x,y,z$ у нас в квадратах, линейной системы не видно (брать всю тройку за аргументы по понятным причинам не можем). Тут приходится фантазировать. Произведение чисел в квадратных скобках не обязано быть целым квадратом, но любой его делитель — число вида $a^2+3b^2$. Запишем это так: $(p_1^2+3q_1^2)(p_2^2+3q_2^2)(a^2+3b^2)^2=\left [ (ap_1+3bq_1)^2+3(aq_1-bp_1)^2 \right ]\left [ (ap_2+3bq_2)^2+3(aq_2-bp_2)^2 \right ].$ Для оснований квадратов примем последовательно соответствие: $y-z,x,y-x,z.$ Тогда начальные скобочки равенства (1) должны быть числами вида $c(p_1^2+3q_1^2), c(p_2^2+3q_2^2)$ (или для полноты $cm^2,cn^2$ вместо $c$). Последнее требование — равенство сумм оснований квадратов внешних и внутренних слагаемых выражения в квадратных скобках: $=y.$ Отсюда вырисовывается линейная система из трех уравнений относительно $a,b,c$:
$\left\{\begin{matrix}
(p_1-q_1-p_2+q_2)a+(p_1+3q_1-p_2-3q_2)b=0\\ 
p_1a+3q_1b-(p_2^2+3q_2^2)c=0\\ 
p_2a+3q_2b-(p_1^2+3q_1^2)c=0
\end{matrix}\right.$
Вроде бы и не страшная, но сложность в том, что она однородная. Значит переменные $p,q$ не любые числа, а такие при которых определитель системы $=0.$ Иногда это сильно продвигает дело, но в данном случае имеем зело кучерявый многочлен, отдельная задача. Нужные значения $a,b$ следуют из первого уравнения как пропорция, так что дело именно в нём.
scwec бы тут сказал "таких параметризаций существует бесконечное число", а я добавлю: но общего решения видимо нет. Ага. Вот и он, лёгок на помине. Привет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 13:12 


16/08/05
1146
Пусть в уравнении $(x^3-1)(y^3-1)=z^2$ будет $0<x<y$. Если заметить, что $x-1 \mid y-1$, и сделав меньшее неизвестное параметром $x=v+1, y=v Y+1$, то можно перейти к уравнению

$(3 + 3 v + v^2) Y (3 + 3 v Y + v^2 Y^2)=Z^2$

Рассмотрим делители $p$ и $q$ числа $3 + 3 v + v^2=pq$ (как выше указывал Andrey A, все они видимо вида $a^2+3b^2$).

Пусть $q \mid Y$ и $p \mid 3 + 3 v Y + v^2 Y^2$, или $Y=qX^2$ и $3 + 3 v Y + v^2 Y^2=pS^2$.

Тогда получаем биквадратное Пелля уравнение $3 + 3 v q X^2 + v^2 q^2 X^4=pS^2$, где $v,p,q$ - параметры и $X,S$ - неизвестные.

Которое вроде бы решабельно цепочкой уравнений Туэ.

При этом нужно отдельно рассмотреть варианты $3 \mid Y$ и $3 \nmid Y$.

Если $3 \mid Y$, что сответсвует известному большему решению, то решать надо уравнение $1 + 3 v q X^2 + 3 v^2 q^2 X^4=pS^2$.

Одно из решений при $v=1172,p=5317,q=259$ будет $X=11,S=872449$.



Для поиска отрицательных решений исходного уравнения удобнее рассмотреть уравнение $(x^3+1)(y^3+1)=z^2$, где $0<x<y$ и $x=v^2-1, y=Y(v^2-2)+1$. Переходим к уравнению

$(3 - 3 v^2 + v^4) (2 - 2 Y + v^2 Y) (1 - 2 Y + v^2 Y + 4 Y^2 - 4 v^2 Y^2 + v^4 Y^2)=Z^2$

Перебираем делители числа $3 - 3 v^2 + v^4=pq$ в таком биквадратном уравнении

$3 - 3 q X^2 + q^2 X^4=pS^2$.

Или рассмотреть замену $x=v+1, y=Y v+1$, перейти к уравнению

$(2 + v) (1 + v + v^2) (2 + v Y) (1 + v Y + v^2 Y^2)=Z^2$

Перебирать делители числа $(2 + v) (1 + v + v^2)=pq$, решая то же уравнение

$3 - 3 q X^2 + q^2 X^4=pS^2$.

Одно из решений которого при $v=19,p=2667,q=3$ будет $X=11,S=7$.


Есть здесь какая-нибудь ошибка в рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 15:33 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Из формул, которые Вы приводите для положительных решений, а именно:
$x=v+1, y=vY+1,Y=qX^2, X=11,v=1172, q=259$ следует, что
$\sqrt{(x^3-1)(y^3-1)}=11396\sqrt{615782622195689327192203}$
Где-то что-то не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 15:49 


16/08/05
1146
scwec

$Y=3qX^2$

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 16:14 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Если остальное без изменения, то
$\sqrt{(x^3-1)(y^3-1)}=3645684\sqrt{238874590595847549851532265724977}$
Так что
dmd в сообщении #1380953 писал(а):
$Y=3qX^2$

не помогает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 16:30 


16/08/05
1146
scwec

(Оффтоп)

не знаю, но у меня вроде всё корректно
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
dmd в сообщении #1380906 писал(а):
Если заметить, что $x-1 \mid y-1$

Это просто наблюдение? В указанном Вами примере это выполняется, но в общем случае требует обоснования.
dmd в сообщении #1380906 писал(а):
Тогда получаем биквадратное Пелля уравнение $3 + 3 v q X^2 + v^2 q^2 X^4=pS^2$, где $v,p,q$ - параметры и $X,S$ - неизвестные.
$(vqX^2)^2+3vqX^2-(pS^2-3)=0.$ Отсюда $vqX^2=\dfrac{-3+\sqrt{9-12+4pS^2}}{2}$ и $(2vqX^2+3)^2-p(2S)^2=-3.$ Тут $p$ не может быть числом вида $3k+2$, $-3$ — квадратичный вычет по $\mod p$. Если оно выполняется можно бы брать $X$ наибольшим квадратом после соотв. процедур, но ведь у Вас $v,q$ аргументы. Даже если разделится, почему оно должно быть квадратом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 16:52 
Заслуженный участник


17/09/10
2132

(Оффтоп)

dmd в сообщении #1380962 писал(а):
не знаю, но у меня вроде всё корректно

Да, теперь с этим согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 17:50 


16/08/05
1146
Andrey A в сообщении #1380968 писал(а):
$(vqX^2)^2+3vqX^2-(pS^2-3)=0.$ Отсюда $vqX^2=\dfrac{-3+\sqrt{9-12+4pS^2}}{2}$ и $(2vqX^2+3)^2-p(2S)^2=-3.$ Тут $p$ не может быть числом вида $3k+2$, $-3$ — квадратичный вычет по $\mod p$. Если оно выполняется можно бы брать $X$ наибольшим квадратом после соотв. процедур, но ведь у Вас $v,q$ аргументы. Даже если разделится, почему оно должно быть квадратом?

Вы имеете ввиду это $(2vqX^2+3)^2=p(2S)^2-3$? Ну так оно же следствие этого $3 + 3 v q X^2 + v^2 q^2 X^4=pS^2$ равенства, которое выполняется, когда решение $(X,S)$ существует. Конечно, не для любых троек параметров $(v,p,q)$ решение $(X,S)$ существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение10.03.2019, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
То есть Ваши рассуждения, скажем так, описывают некоторые решения, которые уже существуют. Хорошо. Но лучше бы на основе этих рассуждений найти новое решение. Хотя бы одно, это всегда убеждает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 в натуральных числах
Сообщение11.03.2019, 18:29 


16/08/05
1146

(поиск нового решения)

Скорее всего новое решение если и есть, то оно ну очень огромное должно быть.

Поиск в pari/gp решением уравнения Пелля и проверкой на квадрат найденной абсциссы до некоторой её "высоты" (выбрал 10^81):

1) уравнение 1 + 3*v*q*X^2 + 3*v^2*q^2*X^4 = p*S^2
Код:
pmn7()=
{
M= 10^81;

for(v=1000, 10000,

  z= 3 + 3*v + v^2;

  D= divisors(z);

  for(i=1, #D,

   p= D[i]; q= z/p;

   Q= iferr(bnfinit('X^2-12*p), E, 0);

   if(Q,

    U= iferr(Q.fu, E, 0);

    if(U, for(j=1, #U, u= U[j];

     u1= abs(polcoeff(lift(u), 1)); u0= abs(polcoeff(lift(u), 0));

     if(u1==floor(u1) && u0==floor(u0),

      N= iferr(bnfisintnorm(Q,-3), E, 0);

      if(N, for(k=1, #N, n= N[k];

       for(l=0, 48,

        nu= lift(n*u^l);

        n1= abs(polcoeff(nu, 1)); n0= abs(polcoeff(nu, 0));

        if(n1==floor(n1) && n0==floor(n0),

         a= u0; b= (u0+1)*n0/n1; c= u1;

         xc= (n0-3)/(6*v*q); x1= n0; y1= n1;

         while(xc<M,

          if(xc==floor(xc),

           print("----    v = ",v,"    p = ",p,"    q = ",q); print("X^2 = ",xc,"\n");

           if(issquare(xc), print("\n\n++++++++++++++++    v = ",v,"    p = ",p,"    q = ",q,"    X = ",sqrtint(xc),"\n\n\n"))

          );

          x2= a*x1 + b*y1; y2= c*x1 + a*y1;

          x1= x2; y1= y2; xc= (x1-3)/(6*v*q);

         );

         break()

        )
       )
      ))
     )
    ))
   )
  )
)
};


2) уравнение 3 - 3*q*X^2 + q^2*X^4 = p*S^2
Код:
pmn8()=
{
M= 10^81;

for(v=1, 10000,

  z= (2 + v)*(1 + v + v^2);

  D= divisors(z);

  for(i=1, #D,

   p= D[i]; q= z/p;

   Q= iferr(bnfinit('X^2-4*p), E, 0);

   if(Q,

    U= iferr(Q.fu, E, 0);

    if(U, for(j=1, #U, u= U[j];

     u1= abs(polcoeff(lift(u), 1)); u0= abs(polcoeff(lift(u), 0));

     if(u1==floor(u1) && u0==floor(u0),

      N= iferr(bnfisintnorm(Q,-3), E, 0);

      if(N, for(k=1, #N, n= N[k];

       for(l=0, 48,

        nu= lift(n*u^l);

        n1= abs(polcoeff(nu, 1)); n0= abs(polcoeff(nu, 0));

        if(n1==floor(n1) && n0==floor(n0),

         a= u0; b= (u0+1)*n0/n1; c= u1;

         xc= (n0+3)/(2*q); x1= n0; y1= n1;

         while(xc<M,

          if(xc==floor(xc) && xc>1,

           print("----    v = ",v,"    p = ",p,"    q = ",q); print("X^2 = ",xc,"\n");

           if(issquare(xc), print("\n\n++++++++++++++++    v = ",v,"    p = ",p,"    q = ",q,"    X = ",sqrtint(xc),"\n\n\n"))

          );

          x2= a*x1 + b*y1; y2= c*x1 + a*y1;

          x1= x2; y1= y2; xc= (x1+3)/(2*q);

         );

         break()

        )
       )
      ))
     )
    ))
   )
  )
)
};

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group