2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два невырожденных предельных распределения сум.функций
Сообщение24.02.2019, 11:06 


23/02/12
3103
Это просто информационное сообщение. Оно не содержит доказательств, а только идеи, так как статья находится в стадии публикации.


Утверждение

Существует только два предельных невырожденных распределения для сумматорных арифметических функций: нормальное распределение - $N_{a,\sigma^2}$ и распределение $F_{\alpha,\beta}$.


Обоснование

Известно (стр.188 Боровков "Теория вероятностей", 1999) для сумм одинаково распределенных независимых случайных величин, кроме вырожденных, предельными являются нормальное распределение - $N_{a,\sigma^2}$ и распределение $F_{\alpha,\beta}$. Нормальное, если дисперсия случайных величин конечна и распределение $F_{\alpha,\beta}$, если дисперсия - бесконечна.

Известно также, что любую арифметическую функцию $f:N \to R$ можно представить, как последовательность случайных величин $f_n:f_n(m)=f(m),(1 \leq m \leq n)$, которые находятся в разных вероятностных пространствах.

Ранее в теме об асимптотической независимости арифметических функций было показано, что большой класс арифметических функций обладает свойством асимптотической независимости. Асимптотической независимости арифметических функций $f:N \to R$ соответствует квази асимптотическая независимость соответствующих случайных величин $f_n$ при $n \to \infty$.

Рассмотрим сумматорную арифметическую функцию $S(n)=\sum\limits_{k=1}^n {f(k)}$, которой соответствует последовательность случайных величин $S_n:S_n(k)=S(k),(1 \leq k \leq n)$.

Ранее было доказано утверждение, что если случайные величины $f_k:f_k(m)=f(m),(1 \leq m \leq n)$ кважи асимптотически независимы, то при $n \to \infty$ и любом $t$ существует предел характеристической функции - $\lim_{n \to \infty}\varphi_{S_n}(t)$, непрерывный в точке $t=0$, то для данной характеристической функции выполняется:

$\varphi_{S_n}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_f_k(t)}$. (1)

Формула (1) как бы соответствует независимости случайных величин $f_n$ при $n \to \infty$. Отсюда название - асимптотическая независимость.

Обозначим $\varphi_f(t)$ - характеристическую функцию предельного распределения.

Пусть $\varphi_{f_n}(t)-\varphi_f(t)=r$, тогда для квази асимптотически независимых случайных величин при $n \to \infty$ получаем:

$\varphi_{S_n}(t)=\prod_{k=1}^n {\varphi_f_k(t)}=(\varphi_f(t)+r)^n$.

Можно доказать, что если $r=|t|o(1/n)$ (2), то:

$\varphi_{S_n}(t)=(\varphi_f(t))^n+|t|o(1)$, (3)


т.е. на основании (3) при $n \to \infty$ в окрестности $t=0$ мы получаем как бы одинаковое распределение случайных величин.

При выполнении (2) если слагаемые арифметическик функции ограничены, то с одной стороны они асимптотически независимы, а соответствуюшие случайные величины квази асимптотически независимы, а с другой - дисперсия их конечна, тогда получаем предельным нормальное распределение.

Большой класс неограниченных функций также обладает свойством асимптотической независимости, а соответствующие случайные величины квази асимптотически независимы. Поэтому, если для них выполняются условие (2) и математические ожидания соответствующих случайных величин конечны (дисперсии бесконечны), тогда получаем предельным распределение $F_{\alpha,\beta}$.

Cлагаемые сумматорных функций Мертенса - $M(n)$, Лиувилля - $L(n)$, количества простых чисел, не превышащих $n$ - $\pi(n)$ являются ограниченными, а следовательно асимптотически независимыми с конечной дисперсией. Однако, условие $r=|t|o(1/n)$ для них не выполняется, поэтому они не имеют предельным нормальное распределение.

Слагаемые сумматорных функцмй Чебышева являюся неограниченными, но асимптотически независимыми с конечными математическими ожиданиями соответствующих случайных величин.Однако, условие $r=|t|o(1/n)$ также для них не выполняется, поэтому они не имеют предельным распределение $F_{\alpha,\beta}$.

Так как других предельных распределений у указанных сумматорных арифметических функций быть не может, то указанные сумматорные функции вообще не имеют предельных распределений.

Повторяю, что сказанное не является доказательством, а просто некоторым обоснованием вышесказанного утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два невырожденных предельных распределения сум.функций
Сообщение24.02.2019, 12:18 


14/01/11
2916
vicvolf в сообщении #1378058 писал(а):
статья находится в стадии публикации

Стадии публикации обычно предшествует стадия написания....

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.02.2019, 13:02 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Пургаторий (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Два невырожденных предельных распределения сум.функций
Сообщение24.02.2019, 23:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  vicvolf, бан на две недели за очередное возобновление темы из Пургатория.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group