Помогите разобраться в определении категории

[OlgaD]

Думаю, что над всем этим мне придется подумать или вернуться к этому вопросу позже. В любом случае, спасибо всем за помощь

[Anton_Peplov]

OlgaD в сообщении #1377012 писал(а):

Но в теории категорий уже различны.

Они различны не только в теории категорий. Это не особенность теории категорий. Во всех остальных областях математики то же самое: указывается, откуда и куда действует функция.

Иначе потеряют смысл такие важные понятия, как биекция, инъекция, сюръекция. Как Вы уже убедились сами, $\mathbb R \to \mathbb R_+: \ x \to |x|$ - сюръекция, а $\mathbb R \to \mathbb R: \ x \to |x|$ - нет.

Особенно в этом ряду важна биекция. На ней строится понятие изоморфизма в алгебре (изоморфизм групп, линейных пространств и т.д. и т.п.), гомеоморфизма в топологии, важное в анализе и алгебре понятие обратной функции, и т.д.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1377168 писал(а):

Во всех остальных областях математики то же самое: указывается, откуда и куда действует функция.

Это не совсем верно. Формальное определение отображения из $X$ в $Y$ в теории множеств выглядит как подмножество $X\times Y$, такое что для каждого $x\in X$ оно содержит ровно один элемент $(x,y)$ с $y\in Y$.

По этому определению расширение кообласти даёт в точности то же отображение.

Морфизмы при этот разные, потому что морфизм — это не просто отображение, а тройка $(X,f,Y)$, где $f$ — отображение из $X$ в $Y$.

Ну и ещё, формально говоря, $\mathbb Z$ не обязано являться подмножеством $\mathbb R$ (зависит от конструкции), поэтому даже два указанных отображения могут быть разными, но по другим причинам.

Когда говорят, что отображение является биекцией, либо уточняют, какая кообласть имеется в виду, либо она ясна из контекста.

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1377171 писал(а):

Формальное определение отображения из $X$ в $Y$ в теории множеств выглядит как подмножество $X\times Y$, такое что для каждого $x\in X$ оно содержит ровно один элемент $(x,y)$ с $y\in Y$.

По этому определению расширение кообласти даёт в точности то же отображение.

В теории множеств - возможно. По крайней мере, в учебнике Куратовского и Мостовского действительно так. Но за её пределами чаще это называется графиком, а функцией называется упорядоченная тройка "область определения, область значений, график". По причинам, которые я уже называл.

Возможно, я перегнул палку, говоря за всю Одессу математику, но я хотел подчеркнуть, что явное указание области значений - не экзотика теории категорий, а общая практика.

g______d в сообщении #1377171 писал(а):

Ну и ещё, формально говоря, $\mathbb Z$ не обязано являться подмножеством $\mathbb R$ (зависит от конструкции)

Не пугайте человека. Рано ТС в эти дебри лезть.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1377175 писал(а):

Но за её пределами чаще это называется графиком, а функцией называется упорядоченная тройка "область определения, область значений, график". По причинам, которые я уже называл.

Возможно, я перегнул палку, говоря за всю Одессу математику, но я хотел подчеркнуть, что явное указание области значений - не экзотика теории категорий, а общая практика.

В целом согласен.

Anton_Peplov в сообщении #1377175 писал(а):

Не пугайте человека. Рано ТС в эти дебри лезть.

Судя по ранним сообщениям, ТС занимается математикой далеко не первый год, и данный вопрос как раз о «теоретико-множественных тонкостях», так что может быть и не рано.

[OlgaD]

g______d в сообщении #1377171 писал(а):

Это не совсем верно. Формальное определение отображения из $X$ в $Y$ в теории множеств выглядит как подмножество $X\times Y$, такое что для каждого $x\in X$ оно содержит ровно один элемент $(x,y)$ с $y\in Y$.

По этому определению расширение кообласти даёт в точности то же отображение.

Нечто подобное есть в Википедии: Note that the domain and codomain are in fact part of the information determining a morphism. For example, in the category of sets, where morphisms are functions, two functions may be identical as sets of ordered pairs (may have the same range), while having different codomains. The two functions are distinct from the viewpoint of category theory. Thus many authors require that the hom-classes $\hom(X, Y)$ be disjoint. In practice, this is not a problem because if this disjointness does not hold, it can be assured by appending the domain and codomain to the morphisms, (say, as the second and third components of an ordered triple).

-- 19.02.2019, 22:26 --

Anton_Peplov в сообщении #1377175 писал(а):

Рано ТС в эти дебри лезть.

Уже не ТС. Просто интересна теория категория. Позволяет систематизировать все накопленное во время учебы. Но интуиции не всегда хватает.

[g______d]

OlgaD в сообщении #1377189 писал(а):

Нечто подобное есть в Википедии

Забавно, я туда не смотрел, а получилось в похожем стиле.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

OlgaD в сообщении #1377189 писал(а):

Уже не ТС.

ТС - топикстартер, человек, создавший топик на форуме. А Вы что подумали? :)

[OlgaD]

(Оффтоп)

ТС-товарищ студент