Размножение и статистика

[vpb]

Задача не олимпиадная, довольно элементарный теорвер, но нестандартная.

В некотором государстве репродуктивная деятельность (попросту, размножение) и экономическая ситуация подчиняются следующим закономерностям. (Предлагаемая воображаемая ситуация, имхо, не такая уж бессмысленная, но обсуждением ее отношения к реальности заниматься в этой теме не будем).

1) Всё население делится на три группы $A$, $B$ и $C$. Численность каждой группы составляет ровно $1/3$ от всего населения. Продолжительность жизни всех людей одинакова, и равна $3$ единицам времени. Общая численность и распределение по группам стационарны, в каждый промежуток времени рождается и умирает одно и то же число людей
из каждой группы. Общая численность велика, так что считаем, что процесс происходит непрерывным образом. Кроме того, мы не предполагаем, что потомки остаются внутри той же группы.

2) Люди, как известно, размножаются половым образом. Но в этой задаче мы для упрощения считаем, что размножение бесполое, и человек для производства потомства не нуждается в партнере.

3) Люди имеют доход. Считаем, что доход начинается с самого рождения и заканчивается со смертью. Он может быть в пределах от $0,5$ до $3,5$. В течение жизни он изменяется непрерывным, кусочно линейным образом. В момент рождения доход любого человека равен $0,5$. Для представителей группы $A$ он возрастает, со скоростью $3$, до $1,5$, затем стабилизируется. Для групп $B$ и $C$ --- то же самое, до величин $2,5$ и $3,5$ соответственно. (Т.обр., заметим, большую часть жизни он остается постоянным).

4) Производство потомства зависит от дохода. Именно, при достижении дохода $1$ рождается первый ребенок, $2$ --- второй, $3$ --- третий. Таким образом, в течение жизни представители группы $A$ производят одного потомка, $B$ --- двух, $C$ --- трех.

5) В некоторый момент $t$ производится статистическое исследование. Именно, рассматривается промежуток времени $[t, t+\Delta t]$, где $\Delta t$ предполагается малым. Пусть $p_1$ --- вероятность того, что человек с доходом от $0,5$ до $1,5$ в указанный промежуток произвел потомка, $p_2$ и $p_3$ --- такие же вероятности для промежутков дохода $[1,5; 2,5]$ и $[2,5; 3,5]$ соответственно.

Найти отношение $p_1:p_2:p_3$.

Особенно к решению задачи приглашаются коллеги Xaositect и Lia
и участник SpiderHulk.

Задача мотивирована обсуждением в теме "Гипотеза о влиянии социального отбора на выживаемость".

[Pphantom]

Со стационарностью явные проблемы. В среднем каждый человек производит двух потомков (вне зависимости от времени, когда он это делает), стало быть, суммарное население систематически растет.

[vpb]

Да, спасибо... Казус получился. Я для упрощения от каждой семьи оставил одного человека. Придется по-честному сформулировать.

Думаю, лучше всего не вносить поправки, а переписать заново (первый вариант пусть останется... ).

-- 18.02.2019, 19:36 --

1) Всё население разбито на семьи, по два человека. Для упрощения считаем, что семьи образуются прямо в момент рождения. Все семьи делятся на три группы $A$, $B$ и $C$. Численность каждой группы составляет ровно $1/3$ от численности всех семей. Продолжительность жизни всех людей одинакова, и равна $3$ единицам времени. Общая численность и распределение семей по группам стационарны, в каждый промежуток времени рождается-женится и умирает одно и то же число семей из каждой группы. Общая численность велика, так что считаем, что процесс происходит непрерывным образом. Кроме того, мы не предполагаем, что потомки остаются внутри той же группы.

3) Люди имеют доход. Считаем, что доход начинается с самого рождения и заканчивается со смертью. Он может быть в пределах от $0,5$ до $3,5$. В течение жизни он изменяется непрерывным, кусочно линейным образом. В момент рождения доход любой семьи равен $0,5$. Для семей группы $A$ он возрастает, со скоростью $3$, до $1,5$, затем стабилизируется. Для групп $B$ и $C$ --- то же самое, до величин $2,5$ и $3,5$ соответственно. (Т.обр., заметим, большую часть жизни он остается постоянным).

4) Производство потомства зависит от дохода. Именно, при достижении дохода $1$ рождается первый ребенок, $2$ --- второй, $3$ --- третий. Таким образом, в течение жизни семьи группы $A$ производят одного потомка, $B$ --- двух, $C$ --- трех.

5) В некоторый момент $t$ производится статистическое исследование. Именно, рассматривается промежуток времени $[t, t+\Delta t]$, где $\Delta t$ предполагается малым. Пусть $p_1$ --- вероятность того, что семья с доходом от $0,5$ до $1,5$ в указанный промежуток произвела потомка, $p_2$ и $p_3$ --- такие же вероятности для промежутков дохода $[1,5; 2,5]$ и $[2,5; 3,5]$ соответственно.

Найти отношение $p_1:p_2:p_3$.

[EUgeneUS]

vpb в сообщении #1376994 писал(а):

Пусть $p_1$ --- вероятность того, что семья с доходом от $0,5$ до $1,5$ в указанный промежуток произвела потомка,

Имеется в виду доход семьи в начале рассматриваемого промежутка?

[пианист]

vpb в сообщении #1376994 писал(а):

Общая численность и распределение семей по группам стационарны.. мы не предполагаем, что потомки остаются внутри той же группы.

А как же достигается стационарность распределения по группам? Это такое условие "поверх" модели?

(Оффтоп)

Возвращаясь к исходной точке: я правильно понимаю, что Вы имеете в виду разницу между воспроизведением группы по состоятельности за период (за год, срез) и общим (за жизнь) воспроизведением лиц, которые в данный момент входят в данную группу по состоятельности?

[Geen]

vpb в сообщении #1376994 писал(а):

для промежутков дохода $[1,5; 2,5]$ и $[2,5; 3,5]$ соответственно.

И куда относится большая часть населения категории B?

vpb в сообщении #1376994 писал(а):

вероятность того, что семья с доходом от $0,5$ до $1,5$ в указанный промежуток произвела потомка

Что такое тут "вероятность"?

[Geen]

Пусть у нас население $54$ "миллиона"; это $27$ миллионов семей; по $9$ миллионов в каждой группе.
В группе $A$ имеем $8$ миллионов с доходом $1.5$ и $1$ миллион с доходом от $0.5$ до $1.5$
В группе $B$ имеем $7$ миллионов с доходом $2.5$, $1$ миллион с доходом от $0.5$ до $1.5$ и $1$ миллион - от $1.5$ до $2.5$
В группе $C$... аналогично.
Пусть $\Delta t$ равно одной "миллионной". Тогда в трёх семьях родился первый ребёнок, в двух - второй, в одной - третий.
В некотором смысле "вероятности" равны (так как равны скорости роста дохода при значениях 1,2,3).
Но можно "балласт" закинуть, например, "вниз" - тогда будет слабо убывающая "вероятность" $3/11:2/9:1/7$.
А можно считать не акты рождения, а количество детей; тогда будет $21/22:17/18:13/14$...
А можно пересчитать детей на момент смерти родителей.

Ну так и что?

[vpb]

EUgeneUS в сообщении #1377238 писал(а):

Имеется в виду доход семьи в начале рассматриваемого промежутка?

Можно считать в начале, или в конце, или где-то в середине промежутка. Всё равно, в принципе, из-за того, что $\Delta t\ll1$. Вообще, промежуток можно было написать в виде $[t, t+dt]$, где $dt$ --- дифференциал в физическом смысле, т.е. бесконечно малое приращение.

-- 20.02.2019, 23:05 --

пианист в сообщении #1377244 писал(а):

А как же достигается стационарность распределения по группам? Это такое условие "поверх" модели

Например, можно считать, что потомок семьи из группы $x$, являющийся $y$-м ребенком в своей семье, попадает в группу $z$ с вероятностью $p(x,y,z)$ ( $x,z\in\{A,B,C\}$,$y\in \{1,2,3\}$). При подходящих $p(x,y,z)$ получается стационарное распределение по группам.

пианист в сообщении #1377244 писал(а):

Возвращаясь к исходной точке: я правильно понимаю, что Вы имеете в виду разницу между воспроизведением группы по состоятельности за период (за год, срез) и общим (за жизнь) воспроизведением лиц, которые в данный момент входят в данную группу по состоятельности?

Да, данная задача составлена в видах анализа связей между такими (примерно) статистико-демографическими показателями. Однако, в данной теме я предполагаю обсуждать только математику. Для обсуждения нематематики, вероятно (я надеюсь), будет заведена отдельная тема.

-- 20.02.2019, 23:27 --

Geen в сообщении #1377248 писал(а):

Что такое тут "вероятность"?

Geen в сообщении #1377248 писал(а):

И куда относится большая часть населения категории B?

Я предполагаю, что решающие эту задачу более-менее хорошо понимают элементарные понятия теории вероятностей (фактически, на уровне школы). Объяснять их тут не стоит, иначе тема будет занята не тем. Можете, если что, обратиться в раздел ПРР (М).

Geen в сообщении #1377271 писал(а):

Пусть у нас население $54$ "миллиона"; это $27$ миллионов семей; по $9$ миллионов в каждой группе.
В группе $A$ имеем $8$ миллионов с доходом $1.5$ и $1$ миллион с доходом от $0.5$ до $1.5$
В группе $B$ имеем $7$ миллионов с доходом $2.5$, $1$ миллион с доходом от $0.5$ до $1.5$ и $1$ миллион - от $1.5$ до $2.5$
В группе $C$... аналогично.
Пусть $\Delta t$ равно одной "миллионной". Тогда в трёх семьях родился первый ребёнок, в двух - второй, в одной - третий

Да, это верно.

Geen в сообщении #1377271 писал(а):

В некотором смысле "вероятности" равны (так как равны скорости роста дохода при значениях 1,2,3).

Этой фразы не понимаю.

Geen в сообщении #1377271 писал(а):

Но можно "балласт" закинуть, например, "вниз" - тогда будет слабо убывающая "вероятность" $3/11:2/9:1/7$.
А можно считать не акты рождения, а количество детей; тогда будет $21/22:17/18:13/14$...
А можно пересчитать детей на момент смерти родителей.

Ну так и что?

Это в данной теме оффтоп, см. замечание выше.

[Geen]

vpb в сообщении #1377420 писал(а):

Можете, если что, обратиться в раздел ПРР (М).

Вы описали детерминированную модель - так о каких вероятностях идёт речь?

vpb в сообщении #1377420 писал(а):

Это в данной теме оффтоп, см. замечание выше.

Нет - Вы не описали точно какую именно величину мы считаем. И что делаем с попавшими точно на границы промежутков. Поэтому я просто привёл четыре интерпретации способа подсчёта.

[vpb]

Geen в сообщении #1377435 писал(а):

Вы описали детерминированную модель - так о каких вероятностях идёт речь?

Да, можно, в некотором смысле, смотреть на этот процесс как на детерминированный, и тогда вероятность отождествляется с частотой. Но это, думаю, нечто чисто терминологическое, а смысл понятен.

Geen в сообщении #1377435 писал(а):

И что делаем с попавшими точно на границы промежутков.

Да, я не приметил вначале, что есть двусмысленность (из-за дискретности и некоторой аляповатости модели, плотности распределения по доходам содержат дельта-функции, типа того). В каждый момент конечная (ненулевая) доля семей будет иметь доход $1,5$, и возникает вопрос, отнести их к промежутку $[0.5, 1.5]$ или $[1.5, 2.5]$. Мой ответ --- к первому, т.к. они всю жизнь проводят именно в этом промежутке. Аналогично с $2.5$ и $3.5$.

vpb в сообщении #1376994 писал(а):

Пусть $p_1$ --- вероятность того, что семья с доходом от $0,5$ до $1,5$ в указанный промежуток произвела потомка

То есть, $p_1=A/B$, где $B$ --- число всех семей, имевших в промежуток времени $[t, t+\Delta t]$ доход в интервале $[0.5, 1.5]$, а $A$ --- число тех из них, в которых родился ребенок. (Также легко записать $p_1$ как некоторую условную вероятность).

[Geen]

Ну тогда это будет второй вариант из тех что я приводил.

[vpb]

Geen в сообщении #1377887 писал(а):

Ну тогда это будет второй вариант из тех что я приводил.

Так каков же Ваш ответ ? Чему равно $p_1:p_2:p_3$ ?

[EUgeneUS]

1. Пусть $N$ - (большое) количество семей в популяции.
2. Распределение по возрастам считаем равномерным в любой группе.
3. Посчитаем распределение по доходам. Группы по доходам разобьем так (чтобы не пересекались): $N_1: [0.5,1.5]$, $N_2: (1.5,2.5]$, $N_3: (2.5,3.5]$
4. Тогда:
$N_1 = N\frac{23}{54}$
$N_2 = N\frac{17}{54}$
$N_3 = N\frac{14}{54}$

5. Количество родившихся детей за промежуток $dt$:

$n_1 = \frac{N}{3}dt$ - родились, когда у родителей был доход 1.
$n_2 = \frac{2N}{9}dt$ - родились, когда у родителей был доход 2.
$n_3 = \frac{N}{9}dt$ - родились, когда у родителей был доход 3.

6. Тогда вероятность того, что семья из группы $N_i$ родила в рассматриваемый промежуток ребенка равна: $p_i = \frac{n_i}{N_i}$
$p_1 = \frac{18}{23}dt$
$p_2 = \frac{12}{17}dt$
$p_3 = \frac{3}{7}dt$

И отношения вероятностей: $p_1:p_2:p_3= \frac{18}{23}:\frac{12}{17}:\frac{3}{7}$

[пианист]

У меня получается $3:2:1$

[EUgeneUS]

пианист в сообщении #1378465 писал(а):

$3:2:1$

Если мы будем выбрать случайно детей, а потом смотреть, какой доход был у родителей (1, 2 или 3) на момент рождения, то будет такое отношение вероятностей.

Я считал для другого процесса:
Выбираем случайно семью (родителей). Известно к какой группе по _текущему_ доходу она относится. Какова вероятность, что у неё появился ребенок в промежуток времени $dt$?