2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение02.02.2019, 20:48 


28/08/13
521
В этой книге как пример рассматривается лагранжиан с набором $N$ скалярных полей (11.5). Расчёт простой, а интерпертацию недопонимаю. Вот есть рис. 11.2 для $N=2,$ пусть тогда для однородного поля, доставляющего минимум потенциальной части лагранжиана, взяли(11.7) и перешли к парее полей (11.8). Под (11.9) говорится, что из рис. (11.2) получается, что массивное поле описывает колебания в радиальном направлении, а безмассовое - в касательном направлении вдоль впадины потенциала.
Как это понимать, ведь оба поля отложены по осям, вдоль них и должны колебаться, разве нет?
Ясно, что безмассовые поля отвечают $O(N-1)$ группе вращений, но ведь речь идёт именно о колебаниях, зависимостях полевой функции от координат и времени, а не об инвариантности лагранжиана при линейных преобразованиях (11.6).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение06.02.2019, 22:28 


07/07/12
402
Ascold в сообщении #1373658 писал(а):
Как это понимать, ведь оба поля отложены по осям, вдоль них и должны колебаться, разве нет?
Нет, нужно сначала выбрать вакуум, в его окрестности разложить поле и исследовать малые осцилляции в этой окрестности, отсюда и получается картинка описанная Пескином и Шредером. Причем положения вакуума можно выбрать произвольно и вакуумы не смешиваются, каждому соответствует свой сектор теории, свое Гильбертово пространство и т.д. Это в отличие от обычной квантовой механики, где амплитуда перехода между двумя вакуумными состояниями не нулевая (в КТП же она пропорциональна экспоненте от минус объема пространства). Кстати, все эти рассуждения с потенциалом полуклассические, ведь кватновые поправки могут модифицировать классический потенциал. Поэтому более строгий подход --- эффективный потенциал Вайнберга-Коулмана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение06.02.2019, 23:04 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Ascold в сообщении #1373658 писал(а):
но ведь речь идёт именно о колебаниях, зависимостях полевой функции от координат и времени, а не об инвариантности лагранжиана при линейных преобразованиях


В точности наоборот. Здесь колебания полевой функции, той самой, для которой группа $O$. А пространство тут почти и не при чем. Если взять строго нулевой импульс, то совсем ни при чем.

-- Чт фев 07, 2019 03:05:11 --

Ascold в сообщении #1373658 писал(а):
ведь оба поля отложены по осям, вдоль них и должны колебаться, разве нет?


Нет.

-- Чт фев 07, 2019 03:07:00 --

Ascold в сообщении #1373658 писал(а):
массивное поле описывает колебания в радиальном направлении, а безмассовое - в касательном направлении вдоль впадины потенциала.


Это "радиальное направление" и "касательное направление" к пространственным направлениям не имеют НИКАКОГО отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение07.02.2019, 20:52 


28/08/13
521
physicsworks в сообщении #1374537 писал(а):
Нет, нужно сначала выбрать вакуум, в его окрестности разложить поле и исследовать малые осцилляции в этой окрестности, отсюда и получается картинка описанная Пескином и Шредером.

С этим, вроде как, всё ясно: ищется состояние, минимизирующее гамильтониан, при этом для входящих в него полей возникает условие $\sum\limits_{i=1}^N(\psi^i)^2(x)=\mu^2/\lambda,$ что позволяет определить, например, соответствующий мультиплет полей как $\psi_0^i=\{0,...,\mu/\Sqrt{\lambda}\}$ (11.7)
Далее пишется $\psi^i(x)=\{\pi^i(x),...,\mu/\sqrt{\lambda}+\sigma(x)\},$
а по каким переменным раскладывать поле в окрестности вакуума?
Цитата:
Причем положения вакуума можно выбрать произвольно и вакуумы не смешиваются

Имеете ввиду, что $\psi_0^i=\{0,...,\mu/\sqrt{\lambda}\}$ - это один вакуум, а, например, $\psi_0^i=\{\mu/\sqrt{\lambda},...,0\}$ - другой?
Alex-Yu в сообщении #1374546 писал(а):
Это "радиальное направление" и "касательное направление" к пространственным направлениям не имеют НИКАКОГО отношения.

это понятно, что речь идёт о колебаниях в пространстве полевых конфигураций, но происходит-то оно потому, что "компоненты"$\psi^i(x)=\{\pi^i(x),...,\mu/\sqrt{\lambda}+\sigma(x)\}$ в данной точке зависят от времени? Я вижу картинку так - взяли поле, нашли вакуум, соответствующий постоянному значению полевой переменной, построили график $V=V(\psi).$ В невакуумном состоянии поле теперь не набор констант, поэтому фигура на картинке (11.2) "пришла в движение" - стала менять свою форму.
Если имеется в виду не это, то о каких осцилляциях идёт речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение08.02.2019, 07:59 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Ascold в сообщении #1374797 писал(а):
фигура на картинке (11.2) "пришла в движение" - стала менять свою форму.


Это еще с какого перепуга??? Это же не полевая конфигурация, это зависимость энергии от двух полевых компонент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение12.02.2019, 21:50 


28/08/13
521
Alex-Yu в сообщении #1374834 писал(а):
Это же не полевая конфигурация, это зависимость энергии от двух полевых компонент.

Да, это я туплю. Однако всё равно не пойму, почему из рис. (11.2) получается, что массивное поле описывает колебания в радиальном направлении, в котором потенциал имеет ненулевую вторую производную, а безмассовое - в касательном направлении вдоль впадины потенциала, .
Конкретизирую - пусть есть всего два поля $\psi_1$ и $\psi_1$, потенциал равен $V=-\mu^2(\psi_1^2+\psi_2^2)+\frac{\lambda}{4}(\psi_1^2+\psi_2^2)^2.$ Тогда одно из вакуумных состояний будет $\psi_1=0,$ $\psi_2=\mu/\sqrt{\lambda},$ "смещённое" поле - $\psi_1=\psi(x),$ $\psi_2=\mu/\sqrt{\lambda}+\sigma(x).$ Как в этом случае развидеть, что поле $\sigma(x)$ описывает колебания в радиальном направлении, а поле $\psi(x)$ - вдоль впадины, почему не наоборот, и какое отношение ко всему этому имеет вторая производная потенциала в радиальном направлении? Может, я тупой, но в упор не пойму, что пытаются сказать здесь Пескин и Шредер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение12.02.2019, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ascold в сообщении #1375672 писал(а):
и какое отношение ко всему этому имеет вторая производная потенциала в радиальном направлении?

1. Запишите потенциал в "смещённых" полевых компонентах.
2. Разложите его по Тейлору вокруг нуля до 2 порядка. Должно получиться квадратичное выражение от $\sigma,$ и ноль в касательном направлении.
3. Вообразите себе, что это два независимых поля. Соответственно, квадратичный потенциал становится массовым членом каждого соответствующего поля.

Я всё это читал по
Рубаков. Классические калибровочные поля.
так что если в Пескине-Шрёдере что-то мутно, то я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение13.02.2019, 00:04 


28/08/13
521
Munin в сообщении #1375684 писал(а):
1. Запишите потенциал в "смещённых" полевых компонентах.
2. Разложите его по Тейлору вокруг нуля до 2 порядка. Должно получиться квадратичное выражение от $\sigma,$ и ноль в касательном направлении.

Теперь ясно - во втором порядке потенциал будет $V=-\mu^4/2\lambda+2\mu^2\sigma^2,$
от $\psi$ не зависит, отсюда и интерпретация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пескин и Шредер: спонтанное нарушение симметрии
Сообщение13.02.2019, 01:15 


07/07/12
402
Ascold в сообщении #1375709 писал(а):
отсюда и интерпретация
да, только вывод можно делать на основе полного лагражиана, конечно, ведь вам нужны кинетические члены тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group