2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нелинейная модель линейной тактики
Сообщение06.08.2008, 20:26 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
Каждый, кто играл в такие игры, как "Казаки", "Геттисберг", или смотрел исторические фильмы наподобие "Патриота", представляет, как в основном выглядели пехотные сражения с конца XVII до середины XIX века. Подразделения противоборствующих сторон выстраивались в тонкие линии друг напротив друга и давали по противнику залп за залпом.
Управляя компьютерными армиями задумываешься, что скорее развивать: скорострельность или точность, какое численное превосходство нужно создать для прорыва. Попробуем ответить на эти вопросы, построив математическую модель перестрелки двух линий пехоты.
Итак, пусть вначале имеется a солдат Красных и b солдат Синих. Известно, что в среднем на 1 выстрел красных приходится p убитых солдат синих и на 1 выстрел синих приходится q убитых солдат красных. Примем, что залпы производятся с одинаковой частотой и одновременно, т.е. все солдаты, прежде чем быть убитыми, успевают выстрелить. В таком случае после первого залпа останется a-qb красных и b-pa синих, после второго: (1+pq)a-2qb красных и (1+pq)b-2pa синих, и т.д. (см таблицу).

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline №& красных & синих \\  
\hline 0& a & b \\ 
\hline 1& a-qb & b-pa \\ 
\hline 2& (1+pq)a-2qb & (1+pq)b-2pa \\ 
\hline 3& $(1+3pq)a-(3q+pq^2)b$ & $(1+3pq)b-(3p+p^2q)a$ \\ 
\hline 4& $ (1+6pq+p^2q^2)a-(4q+4pq^2)b $ & $(1+6pq+p2q2)b-(4p+4p2q)a$ \\ 
\hline 
\end{tabular}

Выведем общую формулу из следующих рекуррентных соотношений:

$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
a_{n+1}=a_n-qb_n,\\ 
b_{n+1}=b_n+pa_n,\\
a_0=a,\\
b_0=b; 
\end{array} \right. 
$


Тогда $a_{n+1}=a_n-qb_n=a_n+pqa_{n-1}-qb_{n-1}=a_n+pqa_{n-1}+pqa_{n-2}-qb_{n-2}...=a_n+pg\sum\limits_{i=0}^{n-1}{a_i}-qb$.
Аналогично,
$b_{n+1}=...=b_n+pg\sum\limits_{i=0}^{n-1}{b_i}-pa$.

Попробуем теперь сначала уменьшить количество слагаемых в рекуррентных формулах, а затем выразить их из n.

$a_{n+2}=a_{n+1}+pqf_n+pg\sum\limits_{i=0}^{n-1}{a_i}-qb=a_{n+1}+(pq-1)a_n+a_n+pg\sum\limits_{i=0}^{n-1}{a_i}-qb=2a_{n+1}+(pq-1)a_n$

Теперь для разностного уравнения $a_{n+2}=2a_{n+1}+(pq-1)a_n$ строим характеристическое уравнение: $x^2=2x+(pq-1)$ и решаем его. Его корни $x_{1,2}=1\pm\sqrt{pq}$, значит, выражение имеет вид $a_n=k_1(1+\sqrt{pq})^n+k_2(1-\sqrt{pq})^n$. Подставив начальные условия для n=0 и n=1 имеем: $a_n=\frac{1}{2}\left(\left( a-b\sqrt{\frac{q}{p}}\right )\left( 1+\sqrt{pq} \right )^n+\left( a+b\sqrt{\frac{q}{p}} \right )\left( 1-\sqrt{pq}\right )^n \right)$
Аналогично:
$b_n=\frac{1}{2}\left(\left( b-a\sqrt{\frac{p}{q}}\right )\left( 1+\sqrt{pq} \right )^n+\left( b+a\sqrt{\frac{p}{q}} \right )\left( 1-\sqrt{pq}\right )^n \right)$
Таким образом получаются формулы, показывающие, как убывает количество солдат в сражении по принципам линейной тактики, если принять, что залпы даются сторонами одновременно. Единственный член формулы, ведущий к уменьшению величин a или b до отрицательных значений – это коэффициент $a-b\sqrt{\frac{q}{p}}$, соответственно, при $a\sqrt{p}>b\sqrt{q}$ победят красные, а при $a\sqrt{p}<b\sqrt{q}$ - синие (разумеется, учитывая вероятностный характер попаданий). Именно этот результат, кстати, можно получить и намного быстрее, выяснив, при каком условии отношение количества солдат не изменится после первого залпа: $\frac{a}{b}=\frac{a-qb}{b-pa}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{q}{p}$

Для желающих поэкспериментировать прилагается также калькулятор в таблице Excel. Здесь вы задаёте начальные количества солдат, их точность и относительную скорострельность. Программа вычисляет, как будет изменяться количество солдат в ходе боя и кто в конечном итоге выйдет победителем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group