2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параметризация поля и СНС
Сообщение16.01.2019, 21:22 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Всем здравствуйте. Изучаю сейчас следующую статью: H. Watanabe, H. Murayama, arXiv:1203.0609v3 [hep-th]. Там, в частности, рассматривается следующий лагранжиан (19):
$$\mathcal{L} = i \psi^{\dagger} \partial_t \psi - \frac{1}{2m} \nabla \psi^{\dagger} \nabla \psi + \mu \psi^{\dagger} \psi - \frac{\lambda}{4} \left(\psi^{\dagger} \psi \right)^2 - \frac{\kappa}{4} |\psi^{T} \psi |^2,$$ где $\psi = (\psi_{+1},\psi_{0},\psi_{-1})^{T}$ -- трёхкомпонентное комплексное поле. Конкретный вид лагранжиана для дальнейшего не очень важен, но он $SO(3) \times U(1)$-симметричный и является моделью разреженного спин-1 Бозе газа.

Интересует следующий вопрос. Вот при $-\lambda < \kappa < 0$, например, симметрия спонтанно нарушается и получается следующий вакуум (polar phase):
$$\psi^{(0)} = v_p (0,0,1)^{T}, \quad v_p = \sqrt{2\frac{\mu}{\lambda + \kappa}}.$$ А вот далее авторы говорят, мол, а теперь давайте параметризуем произвольную полевую конфигурацию в виде
$$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + \vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi},$$ имея в виду, что далее рассматривать будем в смысле флуктуаций вокруг озвученного выше среднего поля. Аналогично поступают в случае ферромагнетика (см (20) и (23)).

Честно сказать, из каких соображений выбрана именно такая параметризация -- я понять не могу. Понятно, что должно быть поле флуткуаций общей плотности $h$, аналогично с общей фазой $\theta$, а вот остальное... К сожалению, я геометрическими методами практически не владею, так что для меня это выглядит чёрной магией. В общем случае, исходя из того, что я знаю о теореме Голдстоуна, я бы ожидал чего-то вроде:
$$\psi = e^{i \pi^a(x) T_a}[\psi^{(0)}(x) + h(x)],$$ где $h(x)$ отвечает оставшимся тяжёлым модам, $T_a$ -- "нарушенные генераторы", $\pi^a(x)$ -- голдстоуновские моды. Но тут как будто бы что-то другое. Да и ферромагнитный случай, где они пишут
$$\psi = (v_f + h) \frac{e^{i \theta}}{\sqrt{2} (1 + z^{*}z)} 
\begin{pmatrix}
1 - z^2 \\
i(1 + z^2) \\
2 z
\end{pmatrix},$$ на это явно намекает. Связано это, как я понимаю, с тем, что у системы отсутствует Лоренц-инвариантность, из-за чего здесь, например, появляются взаимно сопряжённые голдстоуновские поля.

Как такие параметризации получаются в общем случае? Особенно меня интересует ситуация, когда к лагранжиану добавляется ещё один член $-q \psi^{\dagger} f_z^2 \psi$, где $f_z = \operatorname{diag}(1,0,-1)$, что явно ломает симметрию $SO(3)$ до $SO(2)$. При этом для определённых значений параметров появляется ещё одна интересная конфигурация вакуума:
$$\psi^{(0)}_{\mathrm{ep}} = \frac{e^{i \varphi}}{2} 
\begin{pmatrix}
e^{-i \alpha} \sqrt{1 - q/2}\\
\sqrt{2 + q} \\
e^{i \alpha} \sqrt{1 - q/2}
\end{pmatrix},$$ которая отвечает спонтанному нарушению $SO(2)$.

Вопрос: можно ли из каких-то соображений (и из каких) параметризовать в данном случае поле подобно тому, как это было сделано в указанной выше работе? Сам я теряюсь -- понимаю, что скорее всего опять будут поля, отвечающие флуктуациям общей фазы и общей плотности, но дальше теряюсь. Был бы очень благодарен за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение16.01.2019, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Gickle в сообщении #1369179 писал(а):
Конкретный вид лагранжиана для дальнейшего не очень важен, но он $SO(3) \times U(1)$-симметричный

А почему не $\mathrm{SU}(3)$?

Gickle в сообщении #1369179 писал(а):
Вот при $-\lambda < \kappa < 0$, например, симметрия спонтанно нарушается и получается следующий вакуум (polar phase):
$$\psi^{(0)} = v_p (0,0,1)^{T}, \quad v_p = \sqrt{2\frac{\mu}{\lambda + \kappa}}.$$ А вот далее авторы говорят, мол, а теперь давайте параметризуем произвольную полевую конфигурацию в виде
$$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + \vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi},$$ имея в виду, что далее рассматривать будем в смысле флуктуаций вокруг озвученного выше среднего поля.

Я чё-то не врубаюсь, а что это за параметризация? $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ или про его направление вообще ничего не известно? Если да, то просто хотят, очевидно, разделить такие вещи, как поворот вектора ($\vec{\chi}$), колебания длины вектора ($h\in\mathbb{R}$) и колебания его фазы ($\theta$). Если нет... - то туманно.

Gickle в сообщении #1369179 писал(а):
В общем случае, исходя из того, что я знаю о теореме Голдстоуна, я бы ожидал чего-то вроде:
$$\psi = e^{i \pi^a(x) T_a}[\psi^{(0)}(x) + h(x)],$$ где $h(x)$ отвечает оставшимся тяжёлым модам, $T_a$ -- "нарушенные генераторы", $\pi^a(x)$ -- голдстоуновские моды.

По сути, здесь то же самое, но вместо чтоб возиться с матричными экспонентами, всё это вынесено в множитель $(\vec{n}+\vec{\chi})$ (а в экспоненте оставили одну скалярную фазу).

В общем, советую на минуточку "вернуться к корням", и проштудировать
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 8. Квантовая механика (I). Глава 3. Спин единица.
Там рассказано, какой геометрический смысл у компонент $\psi=(\psi_{+1},\psi_{0},\psi_{-1})^\mathrm{T}.$ Надеюсь, это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение16.01.2019, 23:15 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Munin в сообщении #1369186 писал(а):
А почему не $\mathrm{SU}(3)$?

Последний член не $SU(3)$-симметричный.
Munin в сообщении #1369186 писал(а):
Я чё-то не врубаюсь, а что это за параметризация? $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ или про его направление вообще ничего не известно? Если да, то просто хотят, очевидно, разделить такие вещи, как поворот вектора ($\vec{\chi}$), колебания длины вектора ($h\in\mathbb{R}$) и колебания его фазы ($\theta$). Если нет... - то туманно.

Честно сказать, я тоже не совсем понимаю. Сначала тоже подумал, что $\vec{n} = (0,0,1)^T$, то есть среднеполевое значение, а $\vec{\chi}$ флуткуация направления вектора. Но нет, у них потом $\vec{n}$ фигурирует в качестве динамического поля.
Munin в сообщении #1369186 писал(а):
По сути, здесь то же самое, но вместо чтоб возиться с матричными экспонентами, всё это вынесено в множитель $(\vec{n}+\vec{\chi})$ (а в экспоненте оставили одну скалярную фазу).

Но ведь с ферромагнитным случаем так явно не получится, не? Ну, то есть их параметризация не сводится к "стандартной". Или я просто не вижу?

В другой статье (arXiv:1402.7066v3 [hep-th]) эти же авторы приводят ещё пример $U(N+1)$-симметричного лагранжиана (239):
$$\mathcal{L} = i \psi^{\dagger} \partial_t \psi - \frac{1}{2m} \nabla \psi^{\dagger} \nabla \psi - \frac{\lambda}{2} \left(\psi^{\dagger} \psi - n_0\right),$$ где $\psi$ является $(N+1)$-компонентным комплексным скалярным полем. Эта теория допускает спонтанное нарушение $U(N+1)$ до $U(N)$ с вакуумом $\psi^{(0)} = \sqrt{n_0} (1,0,\ldots,0)^T$. И дальше они пишут:
Цитата:
In this case, the original $U(n + 1)$ symmetry is broken to $U(n)$ symmetry. The coset space $U(n+ 1)/U(n) = S^{2n+1}$ does not admit a symplectic structure. Therefore, we have to carefully parametrize the coset space. Since $U(n + 1)/[U(n) \times U(1)] \cong CP^n$, which does admit a symplectic structure, we view $S^{2n+1}$ as a $U(1)$ bundle on $CP^n$. The symplectic two-form lives on $CP^n$. We parametrize the field $\psi(x)$ as
$$\psi = \sqrt{n} \frac{e^{-i \theta}}{\sqrt{1 + z^{\dagger} z}} 
\begin{pmatrix}
1 \\
z
\end{pmatrix}\,,$$ where $z(x)$ is an $n$-dimensional column vector.

Честно говоря, для меня это практически птичий язык, к сожалению. Но, как понимаю, какой-то такой же логикой они пользуются и в изначальном примере (то есть пользуются какими-то "хитрыми" геометрическими причинами для параметризации "остаточной" симметрии).

Munin в сообщении #1369186 писал(а):
В общем, советую на минуточку "вернуться к корням", и проштудировать
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 8. Квантовая механика (I). Глава 3. Спин единица.
Там рассказано, какой геометрический смысл у компонент $\psi=(\psi_{+1},\psi_{0},\psi_{-1})^\mathrm{T}.$ Надеюсь, это поможет.

Спасибо за ссылку. Полистал мельком пока что, потом ещё посмотрю. Но как-то нет ощущения, что это сильно поможет. Здесь всё-таки какую-то геометрию (в смысле той, что "нормальная математика") надо понимать, видимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение17.01.2019, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Gickle в сообщении #1369198 писал(а):
Но нет, у них потом $\vec{n}$ фигурирует в качестве динамического поля.

Это место надо потщательней почитать. Может быть, у них буковка меняет смысл. Или, скажем, в начале можно считать, что $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ а потом - что это некий фон, хотя и не вакуум, и над ним дальше рассматривают возмущения.

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):
Но ведь с ферромагнитным случаем так явно не получится, не?

Про ферромагнетизм я просто не в курсе :-( Подождите твердотельщиков.

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):
Но, как понимаю, какой-то такой же логикой они пользуются и в изначальном примере (то есть пользуются какими-то "хитрыми" геометрическими причинами для параметризации "остаточной" симметрии).

Честно говоря, не очень понимаю даже, чем одна параметризация лучше или хуже другой. Надо следить за особыми точками, и всё. Ну и линеаризациями заниматься аккуратно.

Gickle в сообщении #1369198 писал(а):
Здесь всё-таки какую-то геометрию (в смысле той, что "нормальная математика") надо понимать, видимо.

Из второй статьи вы привели хорошую цитату, которая мне понятна (и я бы, может, взялся её пересказать). Может, вы достаточно большую "геометрическую" цитату приведёте из первой статьи, с которой начали тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение17.01.2019, 17:39 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Munin в сообщении #1369208 писал(а):
Это место надо потщательней почитать. Может быть, у них буковка меняет смысл. Или, скажем, в начале можно считать, что $\vec{n}=(0,0,1)^\mathrm{T},$ а потом - что это некий фон, хотя и не вакуум, и над ним дальше рассматривают возмущения.

Во-первых, я сверху слегка ошибся -- потерял мнимую единицу перед $\vec{\chi}$, то есть параметризация на самом деле имеет вид: $$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + i\vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi}.$$ Во-вторых, я ещё раз перечитал этот кусок и пока что по-прежнему не вижу, где затерялся вакуум $(0,0,1)^{T}$, поскольку и $\vec{n}$, и $\vec{\chi}$ у них являются динамическими полями. По сути, можно сверится даже с их ответом, поскольку после подстановки этой параметризации они интегрируют по $h$ и $\vec{\chi}$, получая некоторый эффективный лагранжиан. Постараюсь провести эти выкладки сам в ближайшем будущем, как время чуть побольше будет. Наконец, надо отметить, что с точки зрения числа степеней свободы вроде всё чисто: изначально было $3 \times 2$ штук, в параметризации же по одной от $h$ и $\theta$, по три от $h$ и $\vec{\chi}$, минус две из-за наличия двух связей, то есть тоже $6$. В этом смысле вопрос только в том, куда потерялся вакуум.

Munin в сообщении #1369208 писал(а):
Про ферромагнетизм я просто не в курсе :-( Подождите твердотельщиков.

Это просто другое нарушенное состояние для того же лагранжиана: $\psi^{(0)} = \frac{v_f}{\sqrt{2}}(1,i,0)^T$. В этом случае они предлагают использовать
$$\psi = (v_f + h) \frac{e^{i \theta}}{\sqrt{2} (1 + z^{*}z)} 
\begin{pmatrix}
1 - z^2 \\
i(1 + z^2) \\
2 z
\end{pmatrix},$$ где $z$ -- комплексное поле. Здесь уже вакуум отчётливо виден, но при этом меня несколько настораживает, что число степеней свободы "проседает": их в этой параметризации всего $4$.

Munin в сообщении #1369208 писал(а):
Честно говоря, не очень понимаю даже, чем одна параметризация лучше или хуже другой. Надо следить за особыми точками, и всё. Ну и линеаризациями заниматься аккуратно.

Насколько я могу понять, здесь всё из-за отсутствия Лоренц-инвариантности. Из-за этого "наивная" теорема Голдстоуна перестаёт работать. Число голдстоуновских мод уже не есть $n(G) - n(H)$, как обычно, а может быть и меньше. Поэтому, видимо, и стандартная параметризация не работает так, как надо, так что приходится прибегать к каким-то геометрическим рассуждениям. В общем, в статье авторы как раз всё это тщательно и исследуют.

Munin в сообщении #1369208 писал(а):
Из второй статьи вы привели хорошую цитату, которая мне понятна (и я бы, может, взялся её пересказать). Может, вы достаточно большую "геометрическую" цитату приведёте из первой статьи, с которой начали тему?

Там в конце есть параграф Underlying geometry, который я и привожу ниже:
Цитата:
Having demonstrated our theorem (см. ниже) at work in very different examples, we now study the underlying geometry. Usually, canonically conjugate pairs in mechanics (such as type B NGBs) imply a symplectic structure mathematically, which requires an even-dimensional manifold $M$, and if closed, a nontrivial second de Rham cohomology $H^2(M) \neq 0$. However, we have seen in the last two examples that type A and type B NGBs can coexist on an odd-dimensional $M$ with $H^2(M)=0$. This puzzle can be solved as follows.

The time integral of the first term in
$$\mathcal{L}_\mathrm{eff} &=& c_a(\pi)\dot{\pi}^a
+\frac{1}{2}\bar{g}_{ab}(\pi)\dot{\pi}^a\dot{\pi}^b
-\frac{1}{2}g_{ab}(\pi)\partial_r\pi^a\partial_r\pi^b \nonumber \\
& & +O(\partial_t^3,\partial_t\partial_r^2,\partial_r^4)$$ defines a one-form $c= c_a d \pi^a$ on the coset space, and its exterior derivative gives a closed two-form $\sigma=dc$. Using the coordinates in
$$c_a(\pi)\dot{\pi}^a
  =\sum_{\alpha=1}^m\frac{1}{2}\lambda_{\alpha}
  (\tilde{\pi}^{2\alpha}\dot{\tilde{\pi}}^{2\alpha-1}
  -\dot{\tilde{\pi}}^{2\alpha}\tilde{\pi}^{2\alpha-1}),$$ $\sigma =\sum_{\alpha=1}^m\lambda_\alpha \tilde{\pi}^{2\alpha}\wedge d\tilde{\pi}^{2\alpha-1}$ for $m$ type B NGBs, which resembles a symplectic two-form. However, type A NGB fields for the remaining $n_{\mathrm{BG}}-2m$ broken generators do not have terms with first order in time derivatives, and hence do not take part in $\sigma$. Therefore, $\sigma$ has a constant rank but is degenerate, and hence is not a symplectic structure in the usual sense.

This kind of a partially symplectic (or presymplectic) structure is possible on a coset space by considering the following fiber bundle, $F\hookrightarrow G/H\stackrel{\pi}{\rightarrow}B$, where the base space $B = G/(H\times F)$ is symplectic. The fiber $F$ is a subgroup of $G$ that commutes with $H$. The symplectic structure $\omega$ on $B$ is pulled back to $G/H$ as $\sigma=\pi^{*} \omega$. Since $d\omega=0$ on $B$ implies $d\sigma = 0$ on $G/H$, we can always find a one-form $c$ such that $dc = \sigma$ locally on $G/H$, which appears in $\mathcal{L}_{\mathrm{eff}}$. Type B NGBs live on the symplectic base manifold $B$, whose coordinates form canonically conjugate pairs, while the type A NGBs live on the fiber $F$, each coordinate representing an independent NGB. The type A and type B NGBs can coexist on $G/H$ in this fashion.

The Heisenberg ferromagnetic model has the coset space $S^2 = {\mathbb C}{\mathrm P}^1$ which is Kähler and hence symplectic, with one type B NGB. On the other hand, the spinor BEC example in its ferromagnetic state has $G/H={\mathbb R}{\mathrm P}^3$ which is not symplectic. The last term in
$$\mathcal{L}_{\mathrm{eff}} = \hbar v^2_f i \frac{z^* \dot{z} - \dot{z}^* z}{1+z^{*} z} + \frac{\hbar^2}{\lambda} \left( \dot{\theta} -i \frac{z^{*} \dot{z} - \dot{z}^{*} z}{1 + z^{*} z}\right)^2  - \frac{\hbar^2 v^2_f}{2m} \left[    \left(\partial_r \theta -i \frac{z^{*} \partial_r{z}-\partial_r{z}^{*} z}{1+z^* z}\right)^2 + \frac{2\partial_r z^* \partial_r z}{(1+z^* z)^2}\right]$$is nothing but the Fubini--Study metric on $S^2 = \mathbb{C}\mathrm{P}^{1}$ which is Kähler and hence symplectic. The first term in $L_{\mathrm{eff}}$ defines the one-form $c$ whose exterior derivative ${\mathrm d}c$ gives precisely the Kähler form associated with the metric up to normalization. However $\theta$ is an orthogonal direction with no connection to the symplectic structure. We can define the projection $\pi:{\mathbb R}{\mathrm P}^3 \rightarrow S^2$ simply by eliminating the $\theta$ coordinate. It shows the structure of a fiber bundle $\mathrm{U}(1) \hookrightarrow {\mathbb R}{\mathrm P}^3 \stackrel{\pi}{\rightarrow} \mathbb{C}\mathrm{P}^{1}$, which is the well-known Hopf fibration (the difference between $S^3$ and ${\mathbb R}{\mathrm P}^3 = S^3/{\mathbb Z}_2$ is not essential here). The phonons in the magnetic field also show a partially symplectic structure.

In fact, it is always possible to find such a symplectic manifold $B$ if $G$ is compact and semisimple, thanks to Borel's theorem. Generalizations to non-semi-simple groups would be an interesting future direction in mathematics.


Теорема писал(а):
Пусть $n_{\mathrm{NGB}}$ -- число намбу-голдстоуновских бозонов, а $n_{\mathrm{BG}}$ -- число сломанных генераторов. Тогда
$$n_{\mathrm{BG}} - n_{\mathrm{NGB}} = \frac{1}{2} \operatorname{rank} \rho,$$ где $$\rho_{ij} \equiv \lim_{\Sigma \to \infty} \frac{-i}{\Omega} \langle 0 | [Q_i,Q_j] | 0 \rangle.$$ Здесь $Q_i$ -- генераторы (полной) симметрии, а $\Omega$ -- пространственный объём системы.


Контекст я постарался восполнить, насколько смог, но всё же может быть проблемным восприятие. Подробности можно найти в статье. Та, что из оригинального сообщения в теме, к слову, всего $5$ страниц (в PRL была опубликована) и доступна в arXiv. Вторая статья -- гораздо более объёмная ($35$ страниц где-то), но там, как понимаю, тонкости теоремы и геометрических построений рассказаны в деталях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение17.01.2019, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Gickle в сообщении #1369381 писал(а):
Во-первых, я сверху слегка ошибся -- потерял мнимую единицу перед $\vec{\chi}$, то есть параметризация на самом деле имеет вид: $$\psi = (v_p + h) e^{i \theta} (\vec{n} + i\vec{\chi}), \quad \vec{n}^2 = 1, \ \vec{n} \bot \vec{\chi}.$$

Хм, это сильно другое дело. Надо ещё подумать, однозначна ли такая параметризация. Но теперь понятно, почему $\vec{n}$ может быть динамическим: просто можно взять моды $\vec{\chi}=\theta=0.$ (Меня смущает, что мнимую часть добавляют и тета и хи.)

Gickle в сообщении #1369381 писал(а):
Наконец, надо отметить, что с точки зрения числа степеней свободы вроде всё чисто: изначально было $3 \times 2$ штук, в параметризации же по одной от $h$ и $\theta$, по три от $h$ и $\vec{\chi}$, минус две из-за наличия двух связей, то есть тоже $6$.

Надо покумекать.

Gickle в сообщении #1369381 писал(а):
В этом смысле вопрос только в том, куда потерялся вакуум.

Ну, его в этой параметризации никогда и не было. Это мне (и видимо, вам) "музыкой навеяло", в начале темы. Теперь я вижу, что это была ошибочная ассоциация.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение18.01.2019, 02:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Gickle в сообщении #1369381 писал(а):
Underlying geometry
Цитата:
Usually, canonically conjugate pairs in mechanics (such as type B NGBs) imply a symplectic structure mathematically, which requires an even-dimensional manifold $M$, and if closed, a nontrivial second de Rham cohomology $H^2(M) \neq 0$. However, we have seen in the last two examples that type A and type B NGBs can coexist on an odd-dimensional $M$ with $H^2(M)=0$.

Симплектическая структура - это то, что физики называют (классической) скобкой Пуассона на фазовом пространстве. Она требует чётно-мерного пространства, и его топологической возможности "разлиновать на клеточки". В случае замкнутых пространств (таких как тор или сфера) - эта возможность называется "нетривиальной второй когомологией де Рама" - то есть, сфера не подходит, а тор подходит.

Зачем-то они хотят, чтобы NGB жили на таком пространстве, хотя мне это кажется странным: я полагал, что они могут жить на любой группе Ли симметрии, совершенно не обязательно симплефицируемой.

Coset space - фактор-пространство.
Two-form - то самое "разлинование на клеточки", 2-форма.
$S^2$ - обычная сфера (внутренней размерности 2).
$\mathbb{C}\mathrm{P}^1$ - проективная комплексная прямая - комплексная плоскость, пополненная бесконечно удалённой точкой.
Kähler space - кэлерово пространство - такое, которое одновременно наделено метрикой типа римановой, и локальной комплексной структурой, то есть похоже на комплексное обобщение риманова пространства. Комплексная структура легко превращается в действительную "скобку Пуассона" - симплектическую структуру.

Пока тут остановлюсь. Дальше я не уверен, что смогу, и что вам это надо, так что пока хочу получить реакцию на это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение21.01.2019, 20:08 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Munin
Извиняюсь за долгий ответ -- было много дел.

Munin в сообщении #1369508 писал(а):
Зачем-то они хотят, чтобы NGB жили на таком пространстве, хотя мне это кажется странным: я полагал, что они могут жить на любой группе Ли симметрии, совершенно не обязательно симплефицируемой.

Напишу, как я это понимаю. Разумеется, возможен эффект "глухого телефона". Авторы утверждают, что в Лоренц-неинвариантных системах могут существовать два типа NGB, которые они называют type-A и type-B. Вот как раз те, которые второго типа, живут в симплефицируемом фактор-пространстве, тогда как type-A -- нет. При этом, как пишут авторы:

Цитата:
The definitions of type-A and type-B NGBs are not based on their dispersion relations but on their symplectic structure, as we will discuss in detail later. For now, we just note that, generically, type-A NGBs have a linear dispersion and type-B NGBs have a quadratic dispersion, but there are exceptions. Therefore, $$n_A + 2 n_B = \operatorname{dim} G/H$$ can be understood as the equality version of the Nielsen-Chadha theorem for most cases.


Поэтому в случае СНС в Лоренц-неинваринтных системах нужно рассмотреть получающееся фактор-пространство $G/H$ и, если оно не сиплефицируемо, нужно "разбить" на симплефицируемый кусок, в котором будут жить type-B бозоны, и несимплефицируемый, в котором будут жить type-A бозоны. Делается всё это с помощью формализма расслоений и прочих штук, которые я не очень понимаю. Но ноги всех этих странных параметризаций, насколько я могу судить, растут из вышесказанного.

Теперь я подожду вашей реакции. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение22.01.2019, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Становится понятнее и интереснее, аж потянуло статью почитать.

Вот только, боюсь, рассказать про геометрию расслоений у меня уже пороху не хватит. Может быть, стоит попроситься в математический раздел форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение22.01.2019, 17:38 
Заслуженный участник


29/12/14
504

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1370703 писал(а):
Может быть, стоит попроситься в математический раздел форума.

Боюсь, там меня камнями закидают за столь невнятную, с математической точки зрения, постановку вопроса. :) Да и ответы от математиков вряд ли особо понимать буду в этом случае. Впрочем, может, и стоит попробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметризация поля и СНС
Сообщение22.01.2019, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет, почему?

Вопрос первый: как геометрически устроены все перечисленные группы, их факторизации и соответствующие расслоения, их генераторы? Желательно в конкретном виде матриц и координат, или с отсылкой к нему.

Вопрос второй: кто из них допускает симплефикацию (введение симплектической структуры), какую (тоже с координатами) и почему?

-- 22.01.2019 18:55:24 --

Вот очень наглядная иллюстрация понятия расслоения:
    warlock66613 в сообщении #1211527 писал(а):
    Слева (прямая шестерня) — картина Шрёдингера, справа (шестерня-червяк) — картина Гейзенберга.
    Картинка
    Изображение
    Пояснение: выбор картины (Гейзенберга/Шрёдингера/другой) в квантовой механике — это задание связности в расслоённом пространстве с осью времени в качестве базы и слоем — гильбертовым пространством состояний.
Левая шестерня - прямое произведение, а правая - расслоение с базой - горизонтальной осью, и слоем - шестерёнкой в вертикальном сечении.

А вот расслоение посложнее:
Здесь базой служит двумерная сфера $S^2$ (на рисунке она "развёрнута" в круг, лежащий в половине меридиональной плоскости фигуры), а слоем - окружностью $S^1.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group