2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение30.11.2018, 18:37 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте.
Подобных случаев в своей практике я ещё не встречал. Хочу узнать, правильно ли я понимаю ситуацию, я не полностью уверен.

У меня есть система из двух нелинейных уравнений для двух неизвестных величин (пусть это $x$ и $y$). Мне нужно её решить. Я рассматриваю два случая:
1) $x\ne0$
2) $x=0$
Если $x\ne0$, то я могу на него умножить одно из уравнений системы и найти $y$, но тогда у меня получается, что $y=0$, а из этого следует, что $x=0$. Получили противоречие, значит наше предположение о том, что $x\ne0$ ложное.

Остается случай, что $x=0$, но одно из уравнений имеет вид $\frac{y}{x}+x=0$. Понятно, что $y$ не может быть ни больше ни меньше нуля. Но быть нулем $y$ тоже не может, так как "отношение нулей" не в пределе не имеет смысла, потому что может получится любое конечное число, да? У нас справа точно ноль. Но для того чтобы его получить, нужно чтобы $y$ стремился к нулю быстрее чем $x$. Но мы не говорили о стремлении $x$ и $y$ к нулю, мы сказали, что они точно равны нулю. Следовательно, снова получили противоречие.

Вопрос: можно ли на основании этих противоречий (для каждого из двух рассматриваемых случаев) сказать, что $x$ не равен никакому конечному действительному числу? Следовательно, наша система не имеет решения (в смысле несуществования такого набора $(x, y)$, который будучи подставлен в исходную систему превращал бы её в тождество? И есть ли у меня где-то здесь ошибки в рассуждениях? И можно ли говорить, что решением системы может быть что-то типа: $x=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon$, $y=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon^2$?

-- 30 ноя 2018, 17:46 --

misha.physics в сообщении #1357778 писал(а):
И можно ли говорить, что решением системы может быть что-то типа: $x=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon$, $y=\lim\limits_{\varepsilon\to0}\varepsilon^2$?

Похоже я поспешил, ответ нет, да? Ведь справа у нас точно ноль, а слева нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение30.11.2018, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Вы бы саму систему написали, чего руками-то махать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение30.11.2018, 19:21 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
thething, согласен. Чтобы не писать всех постоянных я их обозначу одной буквой.
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
a\frac{y}{x^{3/2}}+bx^{-\frac{3s-1}{2s-1}}=0\\
\frac{3a}{2}\frac{y}{x^{5/2}}+\frac{3s-1}{2s-1}bx^{-\frac{5s-2}{2s-1}}=0 \\
\end{array}
\right.$$
$a$, $b$ - постоянные, $s$-параметр.

Второе уравнение это фактически производная от первого по $x$. Это система уравнений для нахождения критических параметров --- объема ($x$) и температуры ($y$). В принципе, из уравнений видно, что посколько $x$ и $y$ должны быть положительными, то решения нет. Но меня здесь интересовал чисто математический аспект решения данной системы, не привязываясь к физическим соображениям.

Эти уравнения это соответственно 1-я и 2-я производные от давления (функции состояния). Есть, конечно, вероятность, что оно у меня неправильное, хотя я его несколько раз проверял. Знаки вроде правильные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение30.11.2018, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
misha.physics в сообщении #1357791 писал(а):
Но меня здесь интересовал чисто математический аспект решения данной системы

Так и чисто в математическом аспекте сразу видно ОДЗ: $x>0$, т.е. случай $x=0$ вообще не нужно рассматривать. А вот почему $y$ должен быть положителен, из системы не видно. Ну, либо у Вас есть ещё какое-то условие на коэффициенты $a$ и $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение30.11.2018, 21:28 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
thething, коэффициенты $a$ и $b$ у меня положительны.
Да, действительно $x\ne0$, потому что будет деление на ноль, и отрицательным $x$ быть не может потому что квадратный корень из отрицательной величины не даст действительный корень (пусть мы пока ищем только действительное решение). Значит $x$ может быть только $x>0$. Тогда я второе уравнение могу умножить на $\frac{2}{3}x$ и получу, что $x=0$. Но это не входит в ОДЗ.

А если я второе уравнение умножу на $\frac{2s-1}{3s-1}x$, то получу, что $y=0$. А если $y=0$, то из уравнений получаем, что $x=0$, что тоже не входит в ОДЗ.

Я просто не уверен, как имея все это, сказать, что решения не существует. Достаточно ли просто сказать, что система не имеет решения потому что согласно ОДЗ для вещественных $x$ мы получаем $x>0$, но в ходе решения этой системы получается $x=0$. Понятно, что это не решение. Это свидетельствует об отсутствии действительных корней системы, но как это сформулировать строго и кратко, вот в чем вопрос.

И я так понимаю, что комплексных корней тоже не будет, ведь если мы забудем об ОДЗ, то все выкладки будут справедливы и для комплексных чисел, правда? Одно из уравнений мы можем попытаться удовлетворить, но систему обернуть в тождество не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение30.11.2018, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
misha.physics в сообщении #1357836 писал(а):
но как это сформулировать строго и кратко, вот в чем вопрос.
Вы правильно рассуждаете, но формулируете это не совсем прозрачно.
Вот это:
misha.physics в сообщении #1357836 писал(а):
Значит $x$ может быть только $x>0$. Тогда я второе уравнение могу умножить на $\frac{2}{3}x$ и получу, что $x=0$.
обычно формулируют так:
Цитата:
Домножив второе уравнение на $\frac{2}{3}x$ и вычтя его из первого, получим $x=0$. Это $x$ не входит в ОДЗ системы, следовательно, система не имеет решений.
Это если кратко. Если от Вас требуется подробное решение, то указанные действия нужно проделать и записать.
misha.physics в сообщении #1357836 писал(а):
комплексных корней тоже не будет, ведь если мы забудем об ОДЗ
Зачем забудем? Комплексные числа тоже нельзя делить на 0, поэтому для комплексных чисел будет справедливо такое же рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об решении системы нелинейных уравнений
Сообщение01.12.2018, 00:03 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
grizzly, спасибо.
grizzly в сообщении #1357865 писал(а):
Зачем забудем? Комплексные числа тоже нельзя делить на 0, поэтому для комплексных чисел будет справедливо такое же рассуждение.

Да, там просто вместо $x>0$ будет только $x\ne0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group