Корень уравнения

[arqady]

Докажите, что
1) у уравнения

$$\frac{x^{2n}-1}{x^n(x-1)}=2n$$

имеется единственный положительный корень

$$x_n$$

при всех натуральных

$$n\geq2$$

;
2) $$\lim x_n=1.$

[Cave]

Если обозначить левую часть уравнения за $f(x)$ и полученную функцию доопределить в точке $x=1$ по непрерывности значением $2n$, то полученная функция будет гладкой на $(0; +\infty)$. Одним её корнем будет $x=1$, а $x_n$ будет оставшимся корнем на этом интервале. Про него и докажем утверждения.
Для $f(x)$ справедливо разложение $f(x)=$\sum\limits_{k=-n}^{n-1}x^k$. Поэтому $f'(1)=-n<0$ и $f''(x)>0$ при всех $x>0$. Значит, функция выпукла вниз, убывает в точке $x=1$ и, следовательно, пересекает прямую $y=2n$ ровно два раза - в $x=1$ и в некотором $x=x_n>1$.
Чтобы доказать, что $\lim x_n=1$, достаточно заметить, что $\forall t>1\quad\lim\limits_{n\to\infty}f(t)=\infty$, откуда следует, что лишь для конечного числа показателей $n$ оставшееся решение удовлетворяет условию $x>t$.

Забыл момент уточнить. Конечно, положительности второй производной недостаточно для возрастания функции к бесконечности. Надо ещё было заметить, что при $n=2$ первая производная стремится к 1 на бесконечности (а сама функция имеет асимптоту), а при $n>2$ первая производная стремится к бесконечности.

[arqady]

Всё правильно, Cave!
А как $x_n$ стремится к $1$ ? По какой асимптотике?
Здесь, правда, я сам ничего не знаю.

[Cave]

Асимптотику можно найти стандартно: разложить $f(x)$ в окрестности единицы по формуле Тейлора (сделаем, например, первый осмысленный шаг: $f(1+t) = 2n - nt + (n^3+2n)t^2/3 + O(t^3)$) и решим уравнение $f(1+t)=2n$.
Из предыдущих рассуждений мы знаем, что $t=x_n-1=o(1)$, поэтому, отбрасывая решение $t=0$, имеем:
$2n - nt + (n^3+2n)t^2/3 + O(t^3) = 2n\newline (n^3+2n)t/3 + O(t^2) = n\newline t = 3n/(n^3+2n) + O(t^2)/n^3\newline t = 3/n^2 - 2/n^4 + O(1/n^6) + O(t^2)/n^3$
Так как $t=O(1)$, то из последней формулы имеем $t=O(1/n^2)$. Подставляя это в последний член этой же формулы, получаем, что $O(t^2)/n^3 = O(1/n^7) = O(1/n^6)$, и окончательно после первого шага имеем: $t=3/n^2 - 2/n^4 + O(1/n^6)$.
Чтобы найти дальнейшую асимптотику, нужно имеющуюся подставить в разложение до более высоких степеней и всё аккуратно сократить.