2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Асимптотическое обращение преобразования Лапласа
Сообщение05.11.2018, 23:21 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Здравствуйте товарищи, снова понадобилась помощь математиков.
Собственно в результате рассмотрения физической задачи, мы пришли к уравнению вольтерра 2-го рода типа восстановления, и применением преобразования Лапласа изображение решения имеет следующий вид
$$\hat f(\lambda ) = {{(1 - \beta ){{1 - \hat \varphi (\lambda )} \over \lambda }} \over {1 - (1 - \beta )\hat \varphi (\lambda )}}$$
где ${\hat \varphi (\lambda )}$ - некоторая функция. Суть же проблемы в том, что известная лишь асимптотика $\varphi (t)$ на бесконечности по времени (т.е. для изображения - в нуле). Можно ли получить асимптотику решения в таком случае? Я кратко опишу суть проблемы на простом примере. Допустим, $\varphi (t) = \mu {e^{ - \mu t}}$. В этом случае $\hat \varphi (\lambda ) = {\mu  \over {\lambda  + \mu }}$ и $$\hat f(\lambda ) = {{1 - \beta } \over {\lambda  + \beta \mu }} \Rightarrow f(t) = (1 - \beta ){e^{ - \mu \beta t}}$$
Однако, если мы представим, что знаем только асимптотическое поведение этой функции $\hat \varphi (\lambda ) = {\mu  \over {\lambda  + \mu }} \approx 1 - {\mu ^{ - 1}}\lambda  + ...$ мы получим
$$\hat f(\lambda ) = {{1 - \beta } \over {(1 - \beta )\lambda  + \beta \mu }} \Rightarrow f(t) = {e^{ - {{\mu \beta } \over {1 - \beta }}t}}$$
что не является даже асимптотическим решением, ввиду другого показателя экспоненты. Использование дальнейших членов разложения ситуацию не лечит. Собственно я к чему, если ли какие то методы, которые позволят получить асиптотику $f(t)$ по асимптотике $\varphi (t)$
P.S. Если с уравнением восстановления иметь дело проще непосредственно, выпишу его

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическое обращение преобразования Лапласа
Сообщение06.11.2018, 02:16 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ms-dos4
Мне что то кажется, что асимптотики тут не хватит - что и показывет Ваш пример.
Фишка, как я понимаю, тут такая: если фи (да и эф) убывает экспоненциально - то показатель экспоненты дает полюс у изображения. Значит, нам нужна точка, зануляющая знаменатель у эф с крышкой. И фиг мы её найдем, зная лишь, в какой точке у фи - полюс....

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическое обращение преобразования Лапласа
Сообщение06.11.2018, 08:46 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Ms-dos4
Видимо, ожидание того, что знание асимптотики для фи дает асимптотику для эф, связано с тем, что для степенного роста фи это верно. Однако, для экспоненциально убывающей фи это не так. Если, например, фи есть сумма кучи экспонент, то для эф с крышкой, ВСЕ они (а не только "главная") дают вклад в асимптотику эф с крышкой....

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптотическое обращение преобразования Лапласа
Сообщение07.11.2018, 21:28 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
DeBill
Да, видимо всё так. Спасибо!
P.S.Интересно, что можно сказать про функции, убывающие быстрее экспоненты?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group