2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конкретное приложение теории групп
Сообщение06.11.2018, 19:13 


16/02/15
124
Здравствуйте. Мне интересны приложения теории групп, но пока саму теорию глубоко не копал. Моя задача заключается в комбинации нескольких операций с целью получения заданного результата. С точки зрения теории групп можно привести всем известный пример такой задачи - как собрать кубик Рубика? То есть операции над кубиком и его состояния дают нам группу, а последовательность операций из произвольного состояния даёт нам решение для "сборки" кубика Рубика. При этом нам известно лишь конечное (целевое) состояние, доступные операции (операция вращения) и элементы множества состояний кубика. Как в такой постановке применить теорию групп? По каким ключевым словам искать в оглавлении учебников по теории групп, что бы найти главы, относящиеся к решению подобных поставленной на примере кубика Рубика задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретное приложение теории групп
Сообщение06.11.2018, 20:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это называется word problem. Некоторые системы компьютерной алгебры умеют в разной мере (конкретнее не знаю) её решать. Например, вот пост maxal, описывающий как решать конкретный пример (описанный в той же теме выше) в SAGE девятилетней давности. Возможно, он ещё работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретное приложение теории групп
Сообщение06.11.2018, 23:57 


16/02/15
124
arseniiv в сообщении #1352227 писал(а):
Это называется word problem.

Спасибо, почитал по ссылке. Но не понял. А как это по русски называется? Может в учебнике другое определение найду.

По ссылке заявлено про некое производящее (генерирующее) множество, но в случае с кубиком множество одно (как я понимаю, включает состояния кубика и идентификаторы вращений). К этому множеству много раз применяется операция умножения положения на вращение. Результатом является положение кубика из ранее показанного множества. Поэтому непонятно, зачем нужно производящее множество.

Ну и более общий вопрос - на сколько правильно я рассуждаю, когда свожу применение теории групп к чему-то подобному:

Определяем структуру - выявляем множество, операцию, проверяем признаки группы/полугруппы/кольца/поля, затем выявляем специфический вариант структуры (группы геометрических вращений, топологических операций, группа Ли, куча других более узких по смыслу названий). По идентифицированной структуре ищем её "проработку" в теории групп, то есть теоретические выводы именно для конкретной найденной структуры. Далее смотрим на применимость выводов теории - помогает она решить задачу или нет.

С выявлением структуры пока что плохо. Вроде бы это группа, но всяческие модификации вроде "натурального отображения" и "инволюции" сбивают с пути (надо и их всех копать, что приводит к необходимости копать ещё десятки определений). Соответственно возникает мысль - а нет ли какого-либо справочника по всем структурам из теории групп? То есть этакий словарь, уже видимо из многих сотен слов, с пояснением что они значат? Хотя пока что википедия с гуглом нечто подобное заменяют.

Ну и по применимости теории - опять же даже для одной структуры есть масса лемм и теорем, которые ссылаются на кучу дополнительных структур. В общем с точки зрения новичка - месиво из многих тысяч комбинаций многих десятков (а то и сотен) базовых слов. И при этом каждое слово подразумевает тривиальнейшее понятие (как например группа - множество, операция и несколько критериев по участию в операции). Но вот комбинация понятий взрывает мозг. Плюс ещё в разных книгах используются разные символы для ряда обозначений. Хотя это уже не по теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретное приложение теории групп
Сообщение07.11.2018, 00:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну последние абзацы не только теории групп касаются. :-) Это, считай, даже ко всей математике целиком можно отнести.

alex55555 в сообщении #1352257 писал(а):
А как это по русски называется?
(Подождём тех кто знает, я не помню. Английский-то термин откопал в той теме, на которую ссылался (в коде — повезло, что функцию назвали соответственно).)

alex55555 в сообщении #1352257 писал(а):
По ссылке заявлено про некое производящее (генерирующее) множество, но в случае с кубиком множество одно (как я понимаю, включает состояния кубика и идентификаторы вращений). К этому множеству много раз применяется операция умножения положения на вращение. Результатом является положение кубика из ранее показанного множества. Поэтому непонятно, зачем нужно производящее множество.
Порождающее множество — это множество элементов группы, всевозможные произведения которых дают всю группу, и для вещей типа кубика за это множество естественно взять всевозможные элементарные действия: повороты кубика и сдвиги слоёв. Нас интересует, какая последовательность их даст интересующее состояние, что и даёт частный случай задачи — выразить данный элемент группы произведением элементов из данного порождающего множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретное приложение теории групп
Сообщение07.11.2018, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
alex55555 в сообщении #1352257 писал(а):
А как это по русски называется?

Проблема тождества (слов)... Например, https://dxdy.ru/topic91473.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретное приложение теории групп
Сообщение07.11.2018, 15:16 


16/02/15
124
arseniiv в сообщении #1352261 писал(а):
Ну последние абзацы не только теории групп касаются. :-) Это, считай, даже ко всей математике целиком можно отнести.

Да, сложность скорее количественная, чем качественная.

-- 07.11.2018, 16:17 --

alcoholist в сообщении #1352322 писал(а):
Проблема тождества (слов)

Спасибо, правда в русском варианте эту тему не так просто найти, так что придётся английский смотреть :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group